Номер 1, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1 Найдите область определения функции $y = \frac{3}{\sqrt{x^2 + 4x - 12}}$.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция $y = \frac{3}{\sqrt{x^2 + 4x - 12}}$ определена, если выполняются два условия:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным (так как нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа): $x^2 + 4x - 12 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю (так как на ноль делить нельзя): $\sqrt{x^2 + 4x - 12} \neq 0$.

Объединение этих двух условий дает одно строгое неравенство:

$x^2 + 4x - 12 > 0$

Для решения этого неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 8}{2}$

$x_1 = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

$x_2 = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Корни уравнения $x=-6$ и $x=2$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -6)$, $(-6; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Так как коэффициент при $x^2$ в трехчлене $x^2 + 4x - 12$ положителен ($a=1 > 0$), то ветви параболы $y = x^2 + 4x - 12$ направлены вверх. Это означает, что трехчлен принимает положительные значения вне интервала между корнями, то есть при $x < -6$ и при $x > 2$.

Таким образом, область определения функции задается объединением интервалов $(-\infty; -6)$ и $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (2; +\infty)$.