Номер 14.28, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

14.28 Решите графически систему неравенств:

a) $\begin{cases} x + y > 2, \\ y - \sqrt[3]{x} > 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy + 1 \ge 0, \\ y - \sqrt[3]{x} \le 0. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x + y > 2 \\ y - \sqrt[3]{x} > 0 \end{cases} $

Для графического решения преобразуем систему, выразив $y$ в каждом неравенстве:

$ \begin{cases} y > -x + 2 \\ y > \sqrt[3]{x} \end{cases} $

Теперь построим на координатной плоскости области, соответствующие каждому неравенству, и найдем их пересечение.

1. Границей для первого неравенства $y > -x + 2$ является прямая $y = -x + 2$. Эта прямая проходит через точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$. Поскольку неравенство строгое ($>$), точки на самой прямой не являются решением, и линия изображается пунктиром. Решением неравенства является полуплоскость, расположенная выше этой прямой.

2. Границей для второго неравенства $y > \sqrt[3]{x}$ является кривая $y = \sqrt[3]{x}$. Это график функции кубического корня, проходящий через точки $(-8, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(8, 2)$. Неравенство также строгое, поэтому кривая изображается пунктиром. Решением является область, расположенная выше этой кривой.

3. Решением системы является пересечение этих двух областей, то есть множество точек, которые лежат одновременно и выше прямой, и выше кривой. Для определения формы итоговой области найдем точку пересечения границ $y = -x + 2$ и $y = \sqrt[3]{x}$. Решая уравнение $\sqrt[3]{x} = -x + 2$, подбором находим корень $x=1$. При $x=1$, $y = \sqrt[3]{1} = 1$. Точка пересечения — $(1, 1)$.

Область решений системы — это множество точек $(x, y)$, которые удовлетворяют условию $y > \max(-x + 2, \sqrt[3]{x})$. Графически это область, ограниченная снизу "верхней огибающей" двух графиков: частью прямой $y = -x + 2$ для $x < 1$ и частью кривой $y = \sqrt[3]{x}$ для $x > 1$. Обе части границы являются пунктирными.

Ответ: Решением системы является множество точек $(x, y)$ на координатной плоскости, расположенных одновременно выше прямой $y = -x + 2$ и выше кривой $y = \sqrt[3]{x}$. Границы областей (пунктирные линии) в решение не входят.

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} xy + 1 \ge 0 \\ y - \sqrt[3]{x} \le 0 \end{cases} $

Преобразуем систему к виду:

$ \begin{cases} xy \ge -1 \\ y \le \sqrt[3]{x} \end{cases} $

Решим систему графически.

1. Границей для первого неравенства $xy \ge -1$ является кривая $xy = -1$, или $y = -1/x$. Это гипербола с ветвями во второй и четвертой координатных четвертях. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки на гиперболе являются решением, и она изображается сплошной линией. Чтобы определить область решения, рассмотрим разные случаи. Если $x > 0$, неравенство принимает вид $y \ge -1/x$, что соответствует области, лежащей на и выше ветви гиперболы в IV четверти. Если $x < 0$, неравенство принимает вид $y \le -1/x$, то есть это область, лежащая на и ниже ветви гиперболы во II четверти. Если $x = 0$, неравенство $0 \ge -1$ является верным, поэтому вся ось ординат ($Oy$) также входит в решение. Таким образом, решением первого неравенства является область между ветвями гиперболы, включая сами ветви и ось $Oy$.

2. Границей для второго неравенства $y \le \sqrt[3]{x}$ является кривая $y = \sqrt[3]{x}$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому кривая изображается сплошной линией. Решением является область, расположенная на или ниже этой кривой.

3. Решением системы является пересечение найденных областей. Это множество точек, которые одновременно находятся между ветвями гиперболы $y = -1/x$ (или на них) и на или ниже кривой $y = \sqrt[3]{x}$. Границы $y=\sqrt[3]{x}$ и $y=-1/x$ не пересекаются (уравнение $\sqrt[3]{x} = -1/x$ не имеет действительных корней). Таким образом, искомая область ограничена сверху кривой $y = \sqrt[3]{x}$ и с боков (слева для $x<0$ и справа для $x>0$) ветвями гиперболы $y=-1/x$.

Ответ: Решением системы является множество точек $(x, y)$ на координатной плоскости, которые лежат на или ниже графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ и одновременно удовлетворяют условию $xy \ge -1$. Графически это область, ограниченная сверху сплошной линией $y = \sqrt[3]{x}$, а по бокам — сплошными линиями ветвей гиперболы $y = -1/x$. Все граничные линии и ось $Oy$ включаются в решение.