Номер 14.25, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

14.25 Постройте и прочитайте график функции

$y = \begin{cases} \sqrt[3]{x}, \text{ если } x \le -1; \\ x^5, \text{ если } -1 < x < 1; \\ \sqrt[3]{x}, \text{ если } x \ge 1. \end{cases}$

Построение графика функции

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика рассмотрим каждый участок отдельно.

• При $x \le -1$ и $x \ge 1$ функция имеет вид $y = \sqrt[3]{x}$. Это график кубического корня. Для построения отметим контрольные точки: при $x=1, y=1$; при $x=8, y=2$; при $x=-1, y=-1$; при $x=-8, y=-2$.
• При $-1 < x < 1$ функция имеет вид $y = x^5$. Это степенная функция. График проходит через начало координат $(0,0)$. В точках $x=-1$ и $x=1$ значения функции стремятся к $-1$ и $1$ соответственно, так как $\lim_{x\to -1^+} x^5 = -1$ и $\lim_{x\to 1^-} x^5 = 1$.

Проверим непрерывность функции в точках "стыка":

• В точке $x=-1$: значение слева $y(-1) = \sqrt[3]{-1} = -1$. Предел справа $\lim_{x\to -1^+} x^5 = (-1)^5 = -1$. Так как значения совпадают, функция непрерывна в точке $x=-1$.
• В точке $x=1$: значение справа $y(1) = \sqrt[3]{1} = 1$. Предел слева $\lim_{x\to 1^-} x^5 = 1^5 = 1$. Так как значения совпадают, функция непрерывна в точке $x=1$.

Таким образом, функция непрерывна на всей числовой оси. График представляет собой комбинацию трех кривых, плавно переходящих друг в друга.

Свойства функции (чтение графика)

1. Область определения:

   Функция определена для всех $x \le -1$, для всех $x$ в интервале $-1 < x < 1$ и для всех $x \ge 1$. Объединение этих множеств дает всю числовую ось.
   Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений:

   На промежутке $(-\infty, -1]$ значения функции покрывают промежуток $(-\infty, -1]$. На интервале $(-1, 1)$ значения функции покрывают интервал $(-1, 1)$. На промежутке $[1, +\infty)$ значения функции покрывают промежуток $[1, +\infty)$. Объединяя эти множества, получаем всю числовую ось.
   Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Четность/нечетность:

   Проверим, является ли функция нечетной, то есть выполняется ли равенство $f(-x) = -f(x)$. Область определения симметрична относительно нуля. Если $|x| \ge 1$, то $f(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -f(x)$. Если $|x| < 1$, то $f(-x) = (-x)^5 = -x^5 = -f(x)$. Равенство выполняется для всех $x$ из области определения, следовательно, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.
   Ответ: функция нечетная.

4. Нули функции:

   Найдем значения $x$, при которых $y=0$. На промежутках $x \le -1$ и $x \ge 1$ решаем уравнение $\sqrt[3]{x}=0$, откуда $x=0$. Это значение не входит в указанные промежутки. На интервале $-1 < x < 1$ решаем уравнение $x^5=0$, откуда $x=0$. Это значение входит в данный интервал.
   Ответ: $y=0$ при $x=0$.

5. Промежутки знакопостоянства:

   Найдем промежутки, где функция положительна и где отрицательна. $y > 0$: при $x \ge 1$ из $\sqrt[3]{x} > 0$ и при $0 < x < 1$ из $x^5 > 0$. Объединяя, получаем $x \in (0; +\infty)$. $y < 0$: при $x \le -1$ из $\sqrt[3]{x} < 0$ и при $-1 < x < 0$ из $x^5 < 0$. Объединяя, получаем $x \in (-\infty; 0)$.
   Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

6. Монотонность:

   Найдем производную функции: $y' = \begin{cases} \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}, & \text{если } |x| > 1; \\ 5x^4, & \text{если } |x| < 1. \end{cases}$ Производная $y' \ge 0$ на всей области определения (кроме точек $x=\pm 1$, где она не существует) и обращается в ноль только в точке $x=0$. Так как функция непрерывна, она монотонно возрастает на всей своей области определения.
   Ответ: функция возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

7. Непрерывность:

   Каждая из функций, составляющих данную, непрерывна на своем интервале. Как было показано при построении графика, в точках "стыка" $x=-1$ и $x=1$ пределы слева и справа совпадают со значением функции в этих точках, поэтому функция непрерывна на всей числовой оси.
   Ответ: функция непрерывна на $\mathbb{R}$.

8. Экстремумы:

   Поскольку функция является монотонно возрастающей на всей области определения, у нее нет точек локального максимума или минимума.
   Ответ: экстремумов нет.

9. Выпуклость/вогнутость и точки перегиба:

   Найдем вторую производную: $y'' = \begin{cases} -\frac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}, & \text{если } |x| > 1; \\ 20x^3, & \text{если } |x| < 1. \end{cases}$ Анализируем знак второй производной:

   • При $x \in (-\infty; -1)$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз (вогнутый).
   • При $x \in (-1; 0)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
   • При $x \in (0; 1)$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз (вогнутый).
   • При $x \in (1; +\infty)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.

   В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, поэтому $(0;0)$ — точка перегиба. В точках $x=-1$ и $x=1$ также происходит смена направления выпуклости, но производная в этих точках не существует (левая и правая производные не равны), поэтому точки $(-1;-1)$ и $(1;1)$ являются точками излома графика.
   Ответ: график функции выпуклый вниз на $(-\infty; -1)$ и $(0; 1)$; выпуклый вверх на $(-1; 0)$ и $(1; +\infty)$. Точка перегиба: $(0;0)$.