Номер 14.20, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

14.20 Определите число решений системы уравнений:

а) $\begin{cases} x^2 + y = 4, \\ y = \sqrt[3]{x-1}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy = 2, \\ y = \sqrt[3]{x+2}. \end{cases}$

a)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y = 4 \\ y = \sqrt[3]{x} - 1 \end{cases} $

Число решений системы равно числу точек пересечения графиков функций $y = 4 - x^2$ и $y = \sqrt[3]{x} - 1$.

График $y = 4 - x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 4)$, ветви которой направлены вниз.

График $y = \sqrt[3]{x} - 1$ — это график функции кубического корня, сдвинутый на 1 единицу вниз. Эта функция монотонно возрастает на всей числовой оси.

Для нахождения точек пересечения приравняем выражения для $y$: $4 - x^2 = \sqrt[3]{x} - 1$.

Это уравнение эквивалентно $5 - x^2 = \sqrt[3]{x}$. Решим его графически, анализируя пересечение функций $f(x) = 5 - x^2$ и $g(x) = \sqrt[3]{x}$.

1. При $x > 0$: функция $f(x)$ убывает, а функция $g(x)$ возрастает. Следовательно, на этом промежутке может быть не более одной точки пересечения. Проверим значения функций в некоторых точках:

• При $x = 1$: $f(1) = 5 - 1^2 = 4$, $g(1) = \sqrt[3]{1} = 1$. Имеем $f(1) > g(1)$.
• При $x = 2$: $f(2) = 5 - 2^2 = 1$, $g(2) = \sqrt[3]{2} \approx 1.26$. Имеем $f(2) < g(2)$.

Поскольку функции непрерывны и на концах отрезка $[1, 2]$ разность $f(x) - g(x)$ принимает значения разных знаков, то на интервале $(1, 2)$ существует ровно одна точка пересечения.

2. При $x < 0$: обе функции $f(x)$ и $g(x)$ возрастают. Рассмотрим разность $H(x) = f(x) - g(x) = 5 - x^2 - \sqrt[3]{x}$.

• При $x = -1$: $H(-1) = 5 - (-1)^2 - \sqrt[3]{-1} = 5 - 1 - (-1) = 5$.
• При $x = -8$: $H(-8) = 5 - (-8)^2 - \sqrt[3]{-8} = 5 - 64 - (-2) = -57$.

Так как функция $H(x)$ непрерывна и на промежутке $(-8, -1)$ принимает значения разных знаков ($H(-8) < 0$ и $H(-1) > 0$), на этом интервале есть по крайней мере один корень. Анализ производной показывает, что на промежутке $(-\infty, 0)$ функция имеет только один локальный экстремум (максимум), поэтому корень на этом промежутке ровно один.

Таким образом, существует одна точка пересечения при $x > 0$ и одна при $x < 0$. Всего система имеет два решения.

Ответ: 2.

б)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} xy = 2 \\ y = \sqrt[3]{x} + 2 \end{cases} $

Число решений системы равно числу точек пересечения графиков функций $y = 2/x$ и $y = \sqrt[3]{x} + 2$.

График $y = 2/x$ — это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях.

График $y = \sqrt[3]{x} + 2$ — это график функции кубического корня, сдвинутый на 2 единицы вверх. Эта функция монотонно возрастает.

Чтобы найти число решений, рассмотрим функцию $F(x) = (\sqrt[3]{x} + 2) - \frac{2}{x}$ и найдем число ее корней. Заметим, что $x \ne 0$.

Найдем производную функции $F(x)$: $F'(x) = (\sqrt[3]{x} + 2 - 2x^{-1})' = \frac{1}{3}x^{-2/3} - (-1) \cdot 2x^{-2} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + \frac{2}{x^2}$.

При любом $x \ne 0$, оба слагаемых в производной положительны: $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} > 0$ и $\frac{2}{x^2} > 0$. Следовательно, $F'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что функция $F(x)$ строго возрастает на каждом из интервалов $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

Рассмотрим поведение функции на этих интервалах:
1. На интервале $(0, +\infty)$:
$\lim_{x \to 0^+} F(x) = \lim_{x \to 0^+} (\sqrt[3]{x} + 2 - \frac{2}{x}) = 0 + 2 - \infty = -\infty$.
$\lim_{x \to +\infty} F(x) = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt[3]{x} + 2 - \frac{2}{x}) = +\infty + 2 - 0 = +\infty$.
Поскольку функция $F(x)$ непрерывна и возрастает от $-\infty$ до $+\infty$ на этом интервале, она пересекает ось абсцисс ровно один раз.

2. На интервале $(-\infty, 0)$:
$\lim_{x \to -\infty} F(x) = \lim_{x \to -\infty} (\sqrt[3]{x} + 2 - \frac{2}{x}) = -\infty + 2 - 0 = -\infty$.
$\lim_{x \to 0^-} F(x) = \lim_{x \to 0^-} (\sqrt[3]{x} + 2 - \frac{2}{x}) = 0 + 2 - (-\infty) = +\infty$.
Поскольку функция $F(x)$ непрерывна и возрастает от $-\infty$ до $+\infty$ на этом интервале, она также пересекает ось абсцисс ровно один раз.

Таким образом, существует одно решение при $x > 0$ и одно решение при $x < 0$. Всего система имеет два решения.

Ответ: 2.