Номер 14.27, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

14.27 Постройте график уравнения:

a) $(\sqrt[3]{x} + y)(x^3 - y) = 0;$

б) $(2\sqrt[3]{x} - y)(x^2 + y^2 - 4) = 0;$

в) $(\sqrt[3]{x+1} - y)(xy - 4) = 0;$

г) $(x^{-2} + y)(2y + \sqrt[3]{x}) = 0.$

а) $(\sqrt[3]{x} + y)(x^3 - y) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. В данном случае оба множителя определены для любых действительных значений $x$ и $y$.

Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности (объединению) двух уравнений:

$\sqrt[3]{x} + y = 0$ или $x^3 - y = 0$.

1. Графиком уравнения $\sqrt[3]{x} + y = 0$, которое можно переписать как $y = -\sqrt[3]{x}$, является график функции кубического корня, симметрично отраженный относительно оси абсцисс (оси Ox).

2. Графиком уравнения $x^3 - y = 0$, которое можно переписать как $y = x^3$, является кубическая парабола.

Таким образом, искомый график — это объединение графика функции $y = -\sqrt[3]{x}$ и кубической параболы $y = x^3$. Оба графика проходят через начало координат (0, 0).

Ответ: График уравнения является объединением графиков двух функций: $y = -\sqrt[3]{x}$ и $y = x^3$.

б) $(2\sqrt[3]{x} - y)(x^2 + y^2 - 4) = 0$

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений, так как оба множителя определены для любых $x$ и $y$:

$2\sqrt[3]{x} - y = 0$ или $x^2 + y^2 - 4 = 0$.

1. Уравнение $2\sqrt[3]{x} - y = 0$ можно переписать в виде $y = 2\sqrt[3]{x}$. Это график функции кубического корня, растянутый в 2 раза вдоль оси ординат (оси Oy).

2. Уравнение $x^2 + y^2 - 4 = 0$ можно переписать в виде $x^2 + y^2 = 4$ или $x^2 + y^2 = 2^2$. Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R=2$.

Искомый график является объединением графика функции $y = 2\sqrt[3]{x}$ и окружности $x^2 + y^2 = 4$.

Ответ: График уравнения является объединением графика функции $y = 2\sqrt[3]{x}$ и окружности с центром в начале координат и радиусом 2.

в) $(\sqrt[3]{x+1} - y)(xy - 4) = 0$

Уравнение распадается на совокупность двух уравнений, так как оба множителя определены для любых $x$ и $y$:

$\sqrt[3]{x+1} - y = 0$ или $xy - 4 = 0$.

1. Уравнение $\sqrt[3]{x+1} - y = 0$ можно записать как $y = \sqrt[3]{x+1}$. Это график функции $y = \sqrt[3]{x}$, сдвинутый на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс.

2. Уравнение $xy - 4 = 0$ можно записать как $y = \frac{4}{x}$ (при $x \neq 0$). Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты гиперболы — оси координат $x=0$ и $y=0$.

Искомый график является объединением графика функции $y = \sqrt[3]{x+1}$ и гиперболы $y = \frac{4}{x}$.

Ответ: График уравнения является объединением графика функции $y = \sqrt[3]{x+1}$ и гиперболы $y = \frac{4}{x}$.

г) $(x^{-2} + y)(2y + \sqrt[3]{x}) = 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение $x^{-2}$ равно $\frac{1}{x^2}$, поэтому оно определено для всех $x$, кроме $x=0$. Выражение $\sqrt[3]{x}$ определено для всех $x$. Таким образом, ОДЗ для всего уравнения: $x \neq 0$.

На этой области уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x^{-2} + y = 0$ или $2y + \sqrt[3]{x} = 0$.

1. Уравнение $x^{-2} + y = 0$ можно переписать в виде $y = -x^{-2}$ или $y = -\frac{1}{x^2}$. График этой функции симметричен относительно оси ординат и расположен в III и IV координатных четвертях, так как $y$ всегда отрицателен. Оси координат являются асимптотами.

2. Уравнение $2y + \sqrt[3]{x} = 0$ можно переписать в виде $2y = -\sqrt[3]{x}$, то есть $y = -\frac{1}{2}\sqrt[3]{x}$. Это график функции кубического корня, отраженный относительно оси абсцисс и сжатый в 2 раза вдоль оси ординат. Поскольку ОДЗ исходного уравнения требует $x \neq 0$, точка (0, 0), которая формально принадлежит графику $y = -\frac{1}{2}\sqrt[3]{x}$, должна быть исключена (изображается "выколотой" точкой).

Искомый график является объединением графика функции $y = -\frac{1}{x^2}$ и графика функции $y = -\frac{1}{2}\sqrt[3]{x}$ с выколотой точкой в начале координат (0, 0).

Ответ: График уравнения является объединением графика функции $y = -\frac{1}{x^2}$ (при $x \neq 0$) и графика функции $y = -\frac{1}{2}\sqrt[3]{x}$ с выколотой точкой (0, 0).