Номер 14.24, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

14.24 Решите неравенство:

а) $ \sqrt[3]{x} > 1 $;

б) $ \sqrt[3]{x} > 2 - x $;

в) $ \sqrt[3]{x} \le -2 $;

г) $ \sqrt[3]{x} \le -x - 2 $.

Дано неравенство $\sqrt[3]{x} > 1$.

Область допустимых значений для $x$ не ограничена, так как кубический корень можно извлечь из любого действительного числа.

Функция $y = z^3$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Поэтому мы можем возвести обе части неравенства в третью степень, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt[3]{x})^3 > 1^3$

$x > 1$

Решением неравенства является интервал $(1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

Дано неравенство $\sqrt[3]{x} > 2 - x$.

ОДЗ: $x$ — любое действительное число.

Рассмотрим функции $f(x) = \sqrt[3]{x}$ и $g(x) = 2 - x$. Функция $f(x)$ является монотонно возрастающей, а функция $g(x)$ — монотонно убывающей. Это означает, что их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $\sqrt[3]{x} = 2 - x$.

Подбором находим, что $x=1$ является корнем уравнения: $\sqrt[3]{1} = 1$ и $2 - 1 = 1$.

Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, то при $x > 1$ будет выполняться неравенство $f(x) > f(1)$ и $g(x) < g(1)$, следовательно, $f(x) > g(x)$. То есть $\sqrt[3]{x} > 2 - x$ при $x > 1$.

Алгебраический метод:

Сделаем замену: пусть $y = \sqrt[3]{x}$, тогда $x = y^3$. Неравенство примет вид:

$y > 2 - y^3$

Перенесем все члены в левую часть:

$y^3 + y - 2 > 0$

Найдем корни многочлена $P(y) = y^3 + y - 2$. Заметим, что $y=1$ является корнем, так как $1^3 + 1 - 2 = 0$. Разделим многочлен на $(y-1)$:

$(y^3 + y - 2) : (y - 1) = y^2 + y + 2$

Таким образом, неравенство можно записать в виде:

$(y-1)(y^2 + y + 2) > 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $y^2 + y + 2$. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен, выражение $y^2 + y + 2$ всегда положительно при любом $y$.

Следовательно, знак произведения зависит только от знака множителя $(y-1)$. Неравенство сводится к:

$y - 1 > 0 \implies y > 1$

Вернемся к исходной переменной:

$\sqrt[3]{x} > 1$

Возведем обе части в куб:

$x > 1$

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

Дано неравенство $\sqrt[3]{x} \le -2$.

ОДЗ: $x$ — любое действительное число.

Возведем обе части неравенства в третью степень. Так как функция $y=z^3$ монотонно возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$(\sqrt[3]{x})^3 \le (-2)^3$

$x \le -8$

Решением неравенства является промежуток $(-\infty, -8]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -8]$.

Дано неравенство $\sqrt[3]{x} \le -x - 2$.

ОДЗ: $x$ — любое действительное число.

Сделаем замену: пусть $y = \sqrt[3]{x}$, тогда $x = y^3$. Неравенство примет вид:

$y \le -y^3 - 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$y^3 + y + 2 \le 0$

Найдем корни многочлена $P(y) = y^3 + y + 2$. Подбором находим, что $y=-1$ является корнем: $(-1)^3 + (-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$. Разделим многочлен на $(y+1)$:

$(y^3 + y + 2) : (y + 1) = y^2 - y + 2$

Неравенство можно переписать в виде:

$(y+1)(y^2 - y + 2) \le 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $y^2 - y + 2$. Его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен, выражение $y^2 - y + 2$ всегда положительно при любом $y$.

Значит, знак произведения определяется знаком множителя $(y+1)$. Неравенство равносильно следующему:

$y + 1 \le 0 \implies y \le -1$

Выполним обратную замену:

$\sqrt[3]{x} \le -1$

Возведем обе части в третью степень:

$x \le (-1)^3$

$x \le -1$

Ответ: $x \in (-\infty, -1]$.