Номер 14.18, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

14.18 Постройте график функции и найдите промежутки знакопостоянства:

а) $y = \sqrt[3]{x} - 1;$

б) $y = \sqrt[3]{x + 2};$

в) $y = \sqrt[3]{x} + 2;$

г) $y = \sqrt[3]{x - 1}.$

а) $y = \sqrt[3]{x} - 1$
1. Построение графика.
График данной функции получается из графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу вниз вдоль оси OY.
Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений функции $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
Для построения графика найдем несколько ключевых точек. Для этого возьмем характерные точки графика $y=\sqrt[3]{x}$ и сместим их на 1 вниз:
- если $x=-8$, то $y = \sqrt[3]{-8} - 1 = -2 - 1 = -3$. Точка $(-8, -3)$.
- если $x=-1$, то $y = \sqrt[3]{-1} - 1 = -1 - 1 = -2$. Точка $(-1, -2)$.
- если $x=0$, то $y = \sqrt[3]{0} - 1 = 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$ - пересечение с осью OY.
- если $x=1$, то $y = \sqrt[3]{1} - 1 = 1 - 1 = 0$. Точка $(1, 0)$ - пересечение с осью OX.
- если $x=8$, то $y = \sqrt[3]{8} - 1 = 2 - 1 = 1$. Точка $(8, 1)$.
Соединив эти точки плавной кривой, симметричной относительно точки $(0, -1)$, получим график функции.

2. Промежутки знакопостоянства.
Найдем нули функции, то есть точки, в которых график пересекает ось OX. Для этого решим уравнение $y=0$.
$\sqrt[3]{x} - 1 = 0 \implies \sqrt[3]{x} = 1$
Возведем обе части уравнения в куб: $x = 1^3 \implies x = 1$.
Точка $x=1$ является нулем функции и делит числовую ось на два интервала: $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из них.
- $y > 0$: $\sqrt[3]{x} - 1 > 0 \implies \sqrt[3]{x} > 1$. Так как функция $f(t)=t^3$ является строго возрастающей, неравенство сохраняется при возведении в куб: $x > 1$.
- $y < 0$: $\sqrt[3]{x} - 1 < 0 \implies \sqrt[3]{x} < 1 \implies x < 1$.
Таким образом, функция положительна при $x > 1$ и отрицательна при $x < 1$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 1)$.

б) $y = \sqrt[3]{x+2}$
1. Построение графика.
График данной функции получается из графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем параллельного переноса на 2 единицы влево вдоль оси OX.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
Ключевые точки (точки графика $y = \sqrt[3]{x}$, сдвинутые влево на 2):
- Точка $(-8, -2)$ сдвигается в $(-8-2, -2) = (-10, -2)$.
- Точка $(-1, -1)$ сдвигается в $(-1-2, -1) = (-3, -1)$.
- Точка $(0, 0)$ сдвигается в $(0-2, 0) = (-2, 0)$ - пересечение с осью OX.
- Точка $(1, 1)$ сдвигается в $(1-2, 1) = (-1, 1)$.
- Точка $(8, 2)$ сдвигается в $(8-2, 2) = (6, 2)$.
Пересечение с осью OY: $x=0 \implies y = \sqrt[3]{0+2} = \sqrt[3]{2}$. Точка $(0, \sqrt[3]{2})$.
Соединяем точки плавной кривой.

2. Промежутки знакопостоянства.
Найдем нули функции: $y=0$.
$\sqrt[3]{x+2} = 0 \implies x+2 = 0 \implies x = -2$.
Нуль функции $x=-2$ делит числовую ось на интервалы $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.
- $y > 0$: $\sqrt[3]{x+2} > 0 \implies x+2 > 0 \implies x > -2$.
- $y < 0$: $\sqrt[3]{x+2} < 0 \implies x+2 < 0 \implies x < -2$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-2; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -2)$.

в) $y = \sqrt[3]{x} + 2$
1. Построение графика.
График данной функции получается из графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси OY.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
Ключевые точки (точки $y=\sqrt[3]{x}$, сдвинутые вверх на 2):
- если $x=-8$, то $y = \sqrt[3]{-8} + 2 = -2 + 2 = 0$. Точка $(-8, 0)$ - пересечение с осью OX.
- если $x=-1$, то $y = \sqrt[3]{-1} + 2 = -1 + 2 = 1$. Точка $(-1, 1)$.
- если $x=0$, то $y = \sqrt[3]{0} + 2 = 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$ - пересечение с осью OY.
- если $x=1$, то $y = \sqrt[3]{1} + 2 = 1 + 2 = 3$. Точка $(1, 3)$.
- если $x=8$, то $y = \sqrt[3]{8} + 2 = 2 + 2 = 4$. Точка $(8, 4)$.
Соединяем точки плавной кривой.

2. Промежутки знакопостоянства.
Найдем нули функции: $y=0$.
$\sqrt[3]{x} + 2 = 0 \implies \sqrt[3]{x} = -2 \implies x = (-2)^3 = -8$.
Нуль функции $x=-8$ делит числовую ось на интервалы $(-\infty; -8)$ и $(-8; +\infty)$.
- $y > 0$: $\sqrt[3]{x} + 2 > 0 \implies \sqrt[3]{x} > -2 \implies x > (-2)^3 \implies x > -8$.
- $y < 0$: $\sqrt[3]{x} + 2 < 0 \implies \sqrt[3]{x} < -2 \implies x < (-2)^3 \implies x < -8$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-8; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -8)$.

г) $y = \sqrt[3]{x-1}$
1. Построение графика.
График данной функции получается из графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем параллельного переноса на 1 единицу вправо вдоль оси OX.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
Ключевые точки (точки $y = \sqrt[3]{x}$, сдвинутые вправо на 1):
- Точка $(-8, -2)$ сдвигается в $(-8+1, -2) = (-7, -2)$.
- Точка $(-1, -1)$ сдвигается в $(-1+1, -1) = (0, -1)$ - пересечение с осью OY.
- Точка $(0, 0)$ сдвигается в $(0+1, 0) = (1, 0)$ - пересечение с осью OX.
- Точка $(1, 1)$ сдвигается в $(1+1, 1) = (2, 1)$.
- Точка $(8, 2)$ сдвигается в $(8+1, 2) = (9, 2)$.
Соединяем точки плавной кривой.

2. Промежутки знакопостоянства.
Найдем нули функции: $y=0$.
$\sqrt[3]{x-1} = 0 \implies x-1 = 0 \implies x = 1$.
Нуль функции $x=1$ делит числовую ось на интервалы $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.
- $y > 0$: $\sqrt[3]{x-1} > 0 \implies x-1 > 0 \implies x > 1$.
- $y < 0$: $\sqrt[3]{x-1} < 0 \implies x-1 < 0 \implies x < 1$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 1)$.