Номер 14.16, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

14.16 Постройте и прочитайте график функции:

а) $y = \begin{cases} -2x, & \text{если } x \le 0; \\ \sqrt[3]{x}, & \text{если } x > 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \sqrt[3]{x}, & \text{если } x \le 1; \\ \frac{1}{x}, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

а) $y = \begin{cases} -2x, & \text{если } x \le 0 \\ \sqrt[3]{x}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Построение графика:

График данной кусочно-заданной функции состоит из двух частей:

1. На промежутке $(-\infty, 0]$ строим график линейной функции $y = -2x$. Это луч, выходящий из начала координат, точки $(0, 0)$, и проходящий через точку $(-1, 2)$.
2. На промежутке $(0, +\infty)$ строим график степенной функции $y = \sqrt[3]{x}$. Это ветвь графика кубического корня, расположенная в первой координатной четверти. График также выходит из начала координат $(0, 0)$ и проходит через точки $(1, 1)$ и $(8, 2)$.

Поскольку в точке $x=0$ значение первой части функции $y(0) = -2 \cdot 0 = 0$ и предел второй части $\lim_{x \to 0^+} \sqrt[3]{x} = 0$ совпадают, функция является непрерывной на всей числовой оси. График представляет собой единую линию без разрывов.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y>0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
  • $y<0$ — нет таких значений $x$.
• Промежутки монотонности:
  • Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
  • Функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.
• Точки экстремума:
  • $x_{min} = 0$, $y_{min} = 0$. Это точка глобального минимума.
• Четность, нечетность: Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной), так как ее график не симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Построен график, состоящий из луча $y=-2x$ при $x \le 0$ и ветви графика $y=\sqrt[3]{x}$ при $x > 0$. Функция непрерывна, область определения - все действительные числа, область значений - $[0; +\infty)$, убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$, имеет точку минимума $(0,0)$.

б) $y = \begin{cases} \sqrt[3]{x}, & \text{если } x \le 1 \\ \frac{1}{x}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Построение графика:

График данной кусочно-заданной функции состоит из двух частей:

1. На промежутке $(-\infty, 1]$ строим график функции $y = \sqrt[3]{x}$. Это стандартный график кубического корня, проходящий через точки $(-8, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и заканчивающийся в точке "стыка" $(1, 1)$.
2. На промежутке $(1, +\infty)$ строим график функции $y = \frac{1}{x}$. Это часть гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. График начинается от точки $(1, 1)$, проходит через точки $(2, 1/2)$, $(4, 1/4)$ и асимптотически приближается к оси Ox при $x \to +\infty$.

Проверим непрерывность в точке $x=1$. Значение функции в этой точке $y(1) = \sqrt[3]{1} = 1$. Пределы слева и справа также равны 1: $\lim_{x \to 1^-} \sqrt[3]{x} = 1$ и $\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x} = 1$. Следовательно, функция непрерывна на всей числовой прямой.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 1]$.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$.
  • $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
• Промежутки монотонности:
  • Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$.
  • Функция убывает на промежутке $[1, +\infty)$.
• Точки экстремума:
  • $x_{max} = 1$, $y_{max} = 1$. Это точка глобального максимума.
• Четность, нечетность: Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения.
• Асимптоты: Горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox) при $x \to +\infty$.

Ответ: Построен график, состоящий из части графика $y=\sqrt[3]{x}$ при $x \le 1$ и части гиперболы $y=1/x$ при $x > 1$. Функция непрерывна, область определения - все действительные числа, область значений - $(-\infty; 1]$, возрастает на $(-\infty, 1]$ и убывает на $[1, +\infty)$, имеет точку максимума $(1,1)$ и горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to +\infty$.