Номер 14.10, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

14.10 a) $\frac{1}{\sqrt[3]{a}}$;

б) $\frac{a}{\sqrt[3]{a^2}}$;

В) $-\frac{x}{\sqrt[3]{x}}$;

Г) $\frac{x^2}{\sqrt[3]{x^2}}$.

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{\sqrt[3]{a}}$, необходимо умножить числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы выражение под корнем в знаменателе стало полным кубом. В знаменателе находится $\sqrt[3]{a}$. Чтобы подкоренное выражение стало $a^3$, нужно $a$ умножить на $a^2$. Таким образом, умножим дробь на $\frac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a^2}}$:
$\frac{1}{\sqrt[3]{a}} = \frac{1 \cdot \sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a^2}} = \frac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a \cdot a^2}} = \frac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a^3}} = \frac{\sqrt[3]{a^2}}{a}$.
При этом, изначальное выражение имеет смысл при $a \neq 0$.
Ответ: $\frac{\sqrt[3]{a^2}}{a}$.

б) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{a}{\sqrt[3]{a^2}}$, умножим числитель и знаменатель на множитель, который сделает подкоренное выражение в знаменателе полным кубом. В знаменателе находится $\sqrt[3]{a^2}$. Чтобы подкоренное выражение стало $a^3$, нужно $a^2$ умножить на $a$. Таким образом, умножим дробь на $\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}}$:
$\frac{a}{\sqrt[3]{a^2}} = \frac{a \cdot \sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[3]{a}} = \frac{a\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2 \cdot a}} = \frac{a\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^3}} = \frac{a\sqrt[3]{a}}{a}$.
При $a \neq 0$ можно сократить дробь на $a$:
$\sqrt[3]{a}$.
Ответ: $\sqrt[3]{a}$.

в) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе выражения $-\frac{x}{\sqrt[3]{x}}$, нужно умножить числитель и знаменатель дроби $\frac{x}{\sqrt[3]{x}}$ на соответствующий множитель. В знаменателе находится $\sqrt[3]{x}$. Чтобы подкоренное выражение стало $x^3$, нужно $x$ умножить на $x^2$. Умножим дробь на $\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^2}}$:
$-\frac{x}{\sqrt[3]{x}} = -\frac{x \cdot \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^2}} = -\frac{x\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x \cdot x^2}} = -\frac{x\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^3}} = -\frac{x\sqrt[3]{x^2}}{x}$.
При $x \neq 0$ можно сократить дробь на $x$:
$-\sqrt[3]{x^2}$.
Ответ: $-\sqrt[3]{x^2}$.

г) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{x^2}{\sqrt[3]{x^2}}$, умножим числитель и знаменатель на множитель, который сделает подкоренное выражение в знаменателе полным кубом. В знаменателе находится $\sqrt[3]{x^2}$. Чтобы подкоренное выражение стало $x^3$, нужно $x^2$ умножить на $x$. Таким образом, умножим дробь на $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}$:
$\frac{x^2}{\sqrt[3]{x^2}} = \frac{x^2 \cdot \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^2} \cdot \sqrt[3]{x}} = \frac{x^2\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^2 \cdot x}} = \frac{x^2\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^3}} = \frac{x^2\sqrt[3]{x}}{x}$.
При $x \neq 0$ можно сократить дробь на $x$:
$x\sqrt[3]{x}$.
Ответ: $x\sqrt[3]{x}$.