Номер 10, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10 Дана функция $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} |x|, & \text{если } x < 2; \\ -(x - 3)^2 + 3, & \text{если } x \ge 2. \end{cases}$

a) Постройте график функции $y = f(x)$;

б) укажите число корней уравнения $f(x) = p$, где $p$ — любое действительное число.

а) Постройте график функции y = f(x);

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика необходимо рассмотреть две части, соответствующие двум интервалам определения.

1. На интервале $x < 2$ функция имеет вид $y = |x|$.
График модуля представляет собой объединение двух лучей, выходящих из точки $(0, 0)$.
- Для $x \in (-\infty, 0)$ это луч $y = -x$.
- Для $x \in [0, 2)$ это луч $y = x$.
Мы строим эти лучи на заданном промежутке $x < 2$. Граничная точка $(2, 2)$ не будет принадлежать этому участку графика (является "выколотой" точкой).

2. На промежутке $x \ge 2$ функция имеет вид $y = -(x - 3)^2 + 3$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Ее вершина находится в точке $(3, 3)$.
Вычислим значения в ключевых точках для этого участка:
- В начальной точке $x = 2$: $y = -(2 - 3)^2 + 3 = -(-1)^2 + 3 = 2$. Точка $(2, 2)$ принадлежит графику.
- В вершине $x = 3$: $y = -(3 - 3)^2 + 3 = 3$. Точка $(3, 3)$.
- В точке $x = 4$: $y = -(4 - 3)^2 + 3 = -1^2 + 3 = 2$. Точка $(4, 2)$.
- Точка пересечения с осью абсцисс: $-(x - 3)^2 + 3 = 0 \Rightarrow (x-3)^2=3 \Rightarrow x = 3 \pm \sqrt{3}$. Условию $x \ge 2$ удовлетворяет корень $x = 3 + \sqrt{3}$.

3. Совместим оба графика.
В точке $x=2$ значение функции, вычисленное по первой формуле, стремится к 2. Значение функции по второй формуле равно 2. Следовательно, функция непрерывна в точке $x=2$, и "выколотая" точка первого графика совпадает с начальной точкой второго. Итоговый график представляет собой непрерывную линию.

Ответ: График функции построен (состоит из двух лучей, образующих "галочку" на интервале $(-\infty, 2)$, и части параболы с вершиной в точке $(3,3)$ на промежутке $[2, +\infty)$).

б) укажите число корней уравнения f(x) = p, где p — любое действительное число.

Число корней уравнения $f(x) = p$ равно числу точек пересечения графика функции $y=f(x)$ и горизонтальной прямой $y=p$. Проанализируем количество таких точек, исследуя график функции.

- Если $p > 3$, прямая $y=p$ пересекает график только один раз (на луче $y=-x$).
- Если $p = 3$, прямая касается вершины параболы $(3, 3)$ и пересекает луч $y=-x$ в точке $(-3, 3)$. Итого 2 точки.
- Если $2 < p < 3$, прямая пересекает луч $y=-x$ и дважды пересекает параболу (до и после вершины). Итого 3 точки.
- Если $p = 2$, прямая проходит через точки $(-2, 2)$, $(2, 2)$ и $(4, 2)$. Итого 3 точки.
- Если $0 < p < 2$, прямая пересекает луч $y=-x$, луч $y=x$ и нисходящую ветвь параболы. Итого 3 точки.
- Если $p = 0$, прямая пересекает график в точках $(0, 0)$ и $(3+\sqrt{3}, 0)$. Итого 2 точки.
- Если $p < 0$, прямая не имеет общих точек с графиком, так как все значения функции неотрицательны.

Ответ:
- нет корней при $p \in (-\infty; 0)$;
- 1 корень при $p \in (3; +\infty)$;
- 2 корня при $p = 0$ и $p = 3$;
- 3 корня при $p \in (0; 3)$.