Номер 1, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Найдите область определения функции $y = \frac{6}{\sqrt{-x^2 + 5x + 24}}$.

Область определения функции $y = \frac{6}{\sqrt{-x^2 + 5x + 24}}$ задается условиями, при которых выражение имеет смысл. Для данной функции необходимо, чтобы выражение, стоящее под знаком квадратного корня, было строго положительным, так как оно находится в знаменателе дроби. Знаменатель не может быть равен нулю, а подкоренное выражение не может быть отрицательным. Объединяя эти два условия, получаем одно строгое неравенство.

Таким образом, мы должны решить неравенство:

$-x^2 + 5x + 24 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $-x^2 + 5x + 24 = 0$. Умножим обе части уравнения на $-1$ для удобства:

$x^2 - 5x - 24 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8$

Корни уравнения $x_1 = -3$ и $x_2 = 8$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 8)$ и $(8; +\infty)$.

Поскольку в исходном неравенстве $-x^2 + 5x + 24 > 0$ коэффициент при $x^2$ отрицателен (равен $-1$), ветви параболы $y = -x^2 + 5x + 24$ направлены вниз. Следовательно, квадратичный трехчлен принимает положительные значения на интервале между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(-3; 8)$. Это и есть область определения функции.

Ответ: $x \in (-3; 8)$