Номер 2, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2 Придумайте аналитически заданную функцию $y = f(x)$, для которой $D(f) = [1; 3]$.

Задача состоит в том, чтобы найти любую функцию $y=f(x)$, область определения которой, $D(f)$, представляет собой замкнутый промежуток $[1; 3]$. Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена (имеет смысл). Существует бесконечное множество таких функций. Рассмотрим несколько примеров, построенных на разных принципах.

Способ 1: Использование функции квадратного корня

Основное свойство функции квадратного корня $y = \sqrt{g(x)}$ заключается в том, что ее область определения задается неравенством $g(x) \ge 0$. Нам нужно подобрать такую функцию $g(x)$, которая будет неотрицательной только при $x \in [1; 3]$.

Этому условию удовлетворяет квадратичная функция (парабола), ветви которой направлены вниз, а нули (точки пересечения с осью $x$) находятся в точках $x=1$ и $x=3$. Такую функцию можно записать в виде $g(x) = a(x-1)(x-3)$, где $a < 0$.

Возьмем, например, $a = -1$. Тогда $g(x) = -(x-1)(x-3) = -(x^2 - 4x + 3) = -x^2 + 4x - 3$.

Теперь рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{-x^2 + 4x - 3}$. Ее область определения находится из условия: $-x^2 + 4x - 3 \ge 0$
Умножим неравенство на $-1$ и сменим знак:
$x^2 - 4x + 3 \le 0$
Корнями уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 4x + 3 \le 0$ выполняется между корнями, включая сами корни. Следовательно, область определения $D(f)$ есть промежуток $[1; 3]$.

Ответ: $f(x) = \sqrt{-x^2 + 4x - 3}$.

Способ 2: Использование комбинации двух квадратных корней

Можно сконструировать функцию как сумму или произведение двух функций, чтобы их общая область определения стала нужным нам промежутком. Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{3-x}$.

Эта функция определена, когда оба подкоренных выражения неотрицательны одновременно. Это приводит к системе неравенств: $$ \begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ 3 - x \ge 0 \end{cases} $$

Решим эту систему: $$ \begin{cases} x \ge 1 \\ x \le 3 \end{cases} $$ Пересечением этих двух условий является отрезок $1 \le x \le 3$, то есть $x \in [1; 3]$. Таким образом, область определения $D(f)$ этой функции — это в точности промежуток $[1; 3]$.

Ответ: $f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{3-x}$.

Способ 3: Использование обратных тригонометрических функций

Область определения функций арксинуса $y=\arcsin(u)$ и арккосинуса $y=\arccos(u)$ задается условием $-1 \le u \le 1$. Мы можем использовать это, подобрав такую функцию $u=g(x)$, которая отображает отрезок $[1; 3]$ на отрезок $[-1; 1]$.

Самый простой способ сделать это — использовать линейное преобразование $g(x) = ax + b$. Мы хотим, чтобы $g(1) = -1$ и $g(3) = 1$. Это дает нам систему уравнений: $$ \begin{cases} a \cdot 1 + b = -1 \\ a \cdot 3 + b = 1 \end{cases} $$

Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2a = 2$, откуда $a=1$. Подставляя $a=1$ в первое уравнение, находим $1 + b = -1$, откуда $b=-2$. Итак, искомая линейная функция $g(x) = x-2$.

Теперь мы можем задать нашу функцию как $f(x) = \arcsin(x-2)$. Ее область определения находится из двойного неравенства:
$-1 \le x-2 \le 1$
Прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$-1 + 2 \le x \le 1 + 2$
$1 \le x \le 3$
Таким образом, область определения $D(f)$ — это промежуток $[1; 3]$. Аналогично можно было бы использовать функцию $f(x) = \arccos(x-2)$.

Ответ: $f(x) = \arcsin(x-2)$.