Номер 6, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6 Определите число корней уравнения $x^{-3} = 2 - 3x$.

Для определения числа корней уравнения $x^{-3} = 2 - 3x$ рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $y_1 = x^{-3}$ и $y_2 = 2 - 3x$. Число корней уравнения равно числу точек пересечения графиков этих функций.

Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как функция $y_1 = x^{-3}$ не определена в этой точке.

Способ 1: Графический и функциональный анализ

Разобьем задачу на два случая: $x > 0$ и $x < 0$.

1. Случай $x > 0$

В этой области функция $y_1 = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ является положительной и убывающей. Ее график находится в первой координатной четверти.

Функция $y_2 = 2 - 3x$ — это прямая, которая также убывает. Она пересекает ось ординат в точке $(0, 2)$ и ось абсцисс в точке $(\frac{2}{3}, 0)$. Для $x > \frac{2}{3}$ значения этой функции отрицательны, в то время как значения функции $y_1 = x^{-3}$ всегда положительны при $x>0$. Следовательно, на интервале $(\frac{2}{3}, +\infty)$ пересечений нет.

Чтобы определить, пересекаются ли графики, исследуем разность функций $f(x) = x^{-3} - (2-3x) = \frac{1}{x^3} + 3x - 2$. Нам нужно найти количество нулей функции $f(x)$ при $x > 0$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{1}{x^3} + 3x - 2)' = -3x^{-4} + 3 = 3 - \frac{3}{x^4} = 3(1 - \frac{1}{x^4})$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3(1 - \frac{1}{x^4}) = 0$, откуда $x^4 = 1$. Так как мы рассматриваем $x > 0$, единственная критическая точка — это $x=1$.

Определим знаки производной: при $0 < x < 1$ имеем $x^4 < 1$, поэтому $\frac{1}{x^4} > 1$, и $f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ убывает; при $x > 1$ имеем $x^4 > 1$, поэтому $\frac{1}{x^4} < 1$, и $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.

Следовательно, в точке $x=1$ функция $f(x)$ достигает своего локального (и глобального для $x>0$) минимума. Найдем значение этого минимума:

$f(1) = \frac{1}{1^3} + 3(1) - 2 = 1 + 3 - 2 = 2$.

Минимальное значение функции $f(x)$ при $x>0$ равно 2. Так как $f_{min}(x) = 2 > 0$, функция $f(x)$ всегда положительна при $x>0$. Это означает, что $x^{-3} > 2 - 3x$ для всех $x>0$, и графики функций не пересекаются. Таким образом, положительных корней у уравнения нет.

2. Случай $x < 0$

В этой области функция $y_1 = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ принимает отрицательные значения (график находится в третьей координатной четверти).

Рассмотрим функцию $y_2 = 2 - 3x$. Поскольку $x < 0$, то $-3x > 0$, и следовательно $y_2 = 2 - 3x > 2$. То есть, для всех $x < 0$ значения этой функции строго больше 2.

Мы имеем, что при $x < 0$ левая часть уравнения $x^{-3}$ всегда отрицательна, а правая часть $2 - 3x$ всегда положительна. Равенство между ними невозможно.

Следовательно, отрицательных корней у уравнения также нет.

Вывод по первому способу: Уравнение не имеет ни положительных, ни отрицательных корней. Так как $x=0$ не входит в область определения, то уравнение не имеет действительных корней.

Способ 2: Алгебраический анализ

Преобразуем исходное уравнение $x^{-3} = 2 - 3x$.

$\frac{1}{x^3} = 2 - 3x$

Поскольку $x \neq 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $x^3$:

$1 = (2 - 3x)x^3$

$1 = 2x^3 - 3x^4$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить полиномиальное уравнение:

$3x^4 - 2x^3 + 1 = 0$

Рассмотрим функцию $p(x) = 3x^4 - 2x^3 + 1$. Число корней исходного уравнения (за исключением $x=0$, который мы уже исключили) совпадает с числом корней этого полиномиального уравнения. Найдем наименьшее значение этой функции с помощью производной.

Найдем производную функции $p(x)$:

$p'(x) = (3x^4 - 2x^3 + 1)' = 12x^3 - 6x^2 = 6x^2(2x - 1)$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $6x^2(2x - 1) = 0$, откуда $x = 0$ или $x = \frac{1}{2}$.

Исследуем знак производной, чтобы определить интервалы монотонности: если $x < \frac{1}{2}$ (и $x \neq 0$), то $2x-1 < 0$ и $6x^2 > 0$, значит $p'(x) < 0$ и функция $p(x)$ убывает на $(-\infty, \frac{1}{2}]$; если $x > \frac{1}{2}$, то $2x-1 > 0$ и $6x^2 > 0$, значит $p'(x) > 0$ и функция $p(x)$ возрастает на $[\frac{1}{2}, +\infty)$.

Это означает, что в точке $x = \frac{1}{2}$ функция $p(x)$ достигает своего глобального минимума.

Вычислим значение функции в этой точке:

$p(\frac{1}{2}) = 3(\frac{1}{2})^4 - 2(\frac{1}{2})^3 + 1 = 3(\frac{1}{16}) - 2(\frac{1}{8}) + 1 = \frac{3}{16} - \frac{2}{8} + 1 = \frac{3}{16} - \frac{4}{16} + \frac{16}{16} = \frac{15}{16}$.

Глобальный минимум функции $p(x)$ равен $\frac{15}{16}$. Поскольку минимальное значение функции положительно ($p_{min}(x) = \frac{15}{16} > 0$), функция $p(x)$ принимает только положительные значения и никогда не обращается в ноль.

Следовательно, уравнение $3x^4 - 2x^3 + 1 = 0$ не имеет действительных корней.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: Уравнение не имеет корней, число корней равно 0.