Номер 5, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} h(x), \text{ если } x < 0; \\ (x-1)^2 - 1, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

Задайте $h(x)$, если известно, что $y = f(x)$ является нечётной функцией.

По определению, функция $y = f(x)$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Область определения данной функции $f(x)$ — это объединение интервалов $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, которая симметрична относительно начала координат.

Нам необходимо найти формулу для $h(x)$, которая определяет функцию $f(x)$ при $x < 0$.

Рассмотрим произвольное значение $x$ из интервала $x < 0$. Для такого $x$ справедливо $f(x) = h(x)$.

Поскольку $x < 0$, то $-x > 0$. Для положительных значений аргумента функция $f(x)$ задается выражением $(x-1)^2 - 1$. Следовательно, для значения $-x$ мы можем записать:

$f(-x) = ((-x) - 1)^2 - 1$

Теперь воспользуемся свойством нечётной функции $f(-x) = -f(x)$. Подставим в него полученные выражения для $f(x)$ и $f(-x)$:

$((-x) - 1)^2 - 1 = -h(x)$

Из этого уравнения выразим $h(x)$:

$h(x) = - \left( ((-x) - 1)^2 - 1 \right)$

Упростим полученное выражение:

$h(x) = - \left( (-(x + 1))^2 - 1 \right)$

$h(x) = - \left( (x + 1)^2 - 1 \right)$

Раскроем скобки, чтобы получить окончательный вид:

$h(x) = - (x^2 + 2x + 1 - 1)$

$h(x) = - (x^2 + 2x)$

$h(x) = -x^2 - 2x$

Таким образом, для того чтобы исходная функция $f(x)$ была нечётной, функция $h(x)$ должна быть задана формулой $h(x) = -x^2 - 2x$.

Ответ: $h(x) = -x^2 - 2x$