Номер 7, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = (1 - x)^3 + 3$ на отрезке $[2; 3]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции на отрезке, необходимо найти значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на его концах, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

1. Нахождение производной функции.

Дана функция $y = (1 - x)^3 + 3$. Найдем ее производную, используя правило дифференцирования сложной функции:

$y' = ((1 - x)^3 + 3)' = 3(1 - x)^{3-1} \cdot (1 - x)' + 0 = 3(1 - x)^2 \cdot (-1) = -3(1 - x)^2$.

2. Нахождение критических точек.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$y' = 0 \implies -3(1 - x)^2 = 0$

$(1 - x)^2 = 0$

$1 - x = 0$

$x = 1$

Производная существует при всех значениях $x$, поэтому единственная критическая точка — это $x = 1$.

3. Проверка принадлежности критических точек отрезку.

Заданный отрезок — $[2; 3]$. Критическая точка $x=1$ не принадлежит этому отрезку, так как $1 < 2$.

4. Вычисление значений функции на концах отрезка.

Поскольку на отрезке $[2; 3]$ нет критических точек, наименьшее и наибольшее значения функция принимает на его концах. Вычислим значения функции в точках $x = 2$ и $x = 3$.

При $x = 2$:

$y(2) = (1 - 2)^3 + 3 = (-1)^3 + 3 = -1 + 3 = 2$.

При $x = 3$:

$y(3) = (1 - 3)^3 + 3 = (-2)^3 + 3 = -8 + 3 = -5$.

5. Выбор наименьшего и наибольшего значений.

Сравниваем полученные значения: $y(2)=2$ и $y(3)=-5$.

Наибольшее значение функции на отрезке $[2; 3]$ равно 2.

Наименьшее значение функции на отрезке $[2; 3]$ равно -5.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{наим} = -5$, наибольшее значение функции $y_{наиб} = 2$.