Номер 15.4, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

15.4 Выясните, является ли указанное ниже соответствие последовательностью. Если да, то составьте формулу $n$-го члена последовательности и найдите её первые пять членов:

а) каждому натуральному числу ставится в соответствие его квадрат;

б) каждому натуральному числу ставится в соответствие его куб;

в) каждому натуральному числу ставится в соответствие число 7;

г) каждому натуральному числу ставится в соответствие обратное число.

а) Да, данное соответствие является последовательностью. По определению, числовая последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел. В данном случае каждому натуральному числу $n$ (которое является номером члена последовательности) ставится в соответствие одно конкретное число — его квадрат.
Формула $n$-го члена этой последовательности, обозначим ее $a_n$, имеет вид: $a_n = n^2$.
Первые пять членов последовательности:
$a_1 = 1^2 = 1$
$a_2 = 2^2 = 4$
$a_3 = 3^2 = 9$
$a_4 = 4^2 = 16$
$a_5 = 5^2 = 25$
Ответ: Да, является. Формула $n$-го члена: $a_n = n^2$. Первые пять членов: 1, 4, 9, 16, 25.

б) Да, данное соответствие является последовательностью, так как каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие единственное число, являющееся его кубом.
Формула $n$-го члена этой последовательности, обозначим ее $b_n$, имеет вид: $b_n = n^3$.
Первые пять членов последовательности:
$b_1 = 1^3 = 1$
$b_2 = 2^3 = 8$
$b_3 = 3^3 = 27$
$b_4 = 4^3 = 64$
$b_5 = 5^3 = 125$
Ответ: Да, является. Формула $n$-го члена: $b_n = n^3$. Первые пять членов: 1, 8, 27, 64, 125.

в) Да, данное соответствие является последовательностью. Каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие одно и то же число 7. Такая последовательность называется стационарной или постоянной.
Формула $n$-го члена этой последовательности, обозначим ее $c_n$, имеет вид: $c_n = 7$.
Первые пять членов последовательности:
$c_1 = 7$
$c_2 = 7$
$c_3 = 7$
$c_4 = 7$
$c_5 = 7$
Ответ: Да, является. Формула $n$-го члена: $c_n = 7$. Первые пять членов: 7, 7, 7, 7, 7.

г) Да, данное соответствие является последовательностью. Каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие обратное ему число. Так как $n$ — натуральное число, то оно никогда не равно нулю ($n \ge 1$), поэтому обратное число $\frac{1}{n}$ всегда определено.
Формула $n$-го члена этой последовательности, обозначим ее $d_n$, имеет вид: $d_n = \frac{1}{n}$.
Первые пять членов последовательности:
$d_1 = \frac{1}{1} = 1$
$d_2 = \frac{1}{2}$
$d_3 = \frac{1}{3}$
$d_4 = \frac{1}{4}$
$d_5 = \frac{1}{5}$
Ответ: Да, является. Формула $n$-го члена: $d_n = \frac{1}{n}$. Первые пять членов: 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{5}$.