Номер 15.11, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

15.11 Известно, что $(x_n)$ — возрастающая последовательность всех натуральных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2.

Найдите $x_1$, $x_8$, $x_{45}$.

По условию, последовательность $(x_n)$ состоит из всех натуральных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2. Такие числа можно представить в виде $x = 3k + 2$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, \dots$).

Поскольку последовательность $(x_n)$ возрастающая, ее члены будут соответствовать возрастающим значениям $k$. Найдем первые несколько членов последовательности:

• При $k=0$: $x_1 = 3 \cdot 0 + 2 = 2$
• При $k=1$: $x_2 = 3 \cdot 1 + 2 = 5$
• При $k=2$: $x_3 = 3 \cdot 2 + 2 = 8$
• При $k=3$: $x_4 = 3 \cdot 3 + 2 = 11$

Мы видим, что $(x_n)$ — это арифметическая прогрессия, у которой первый член $x_1 = 2$ и разность $d = 5 - 2 = 3$.

Формула для $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$. В нашем случае формула для $n$-го члена последовательности $(x_n)$ будет: $x_n = x_1 + (n-1)d = 2 + (n-1) \cdot 3 = 2 + 3n - 3 = 3n - 1$.

Теперь мы можем найти требуемые члены последовательности.

$x_1$

Это первый член последовательности. Как мы уже определили, наименьшее натуральное число, дающее остаток 2 при делении на 3, это 2.
Ответ: 2

$x_8$

Чтобы найти восьмой член последовательности, воспользуемся выведенной формулой $x_n = 3n - 1$, подставив $n=8$:
$x_8 = 3 \cdot 8 - 1 = 24 - 1 = 23$.
Ответ: 23

$x_{45}$

Чтобы найти сорок пятый член последовательности, воспользуемся той же формулой $x_n = 3n - 1$, подставив $n=45$:
$x_{45} = 3 \cdot 45 - 1 = 135 - 1 = 134$.
Ответ: 134