Номер 15.18, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

15.18 Докажите, что число A является членом последовательности ($y_n$), если:

a) $y_n = \frac{2n + 3}{n + 1}$, $A = \frac{11}{5}$;

б) $y_n = 2^{3n - 11}$, $A = 128$;

в) $y_n = 3(n + 2)^{-2}$, $A = \frac{1}{12}$;

г) $y_n = (n - 2)^3 - 1$, $A = 342$.

Для того чтобы доказать, что число A является членом последовательности $(y_n)$, необходимо показать, что существует такое натуральное число $n$, при котором $y_n = A$. Для этого решим соответствующее уравнение для каждого случая.

а) $y_n = \frac{2n + 3}{n + 1}$, $A = \frac{11}{5}$

Составим и решим уравнение $y_n = A$:

$\frac{2n + 3}{n + 1} = \frac{11}{5}$

Воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестным умножением):

$5(2n + 3) = 11(n + 1)$

$10n + 15 = 11n + 11$

$15 - 11 = 11n - 10n$

$n = 4$

Поскольку мы нашли натуральное число $n=4$, это доказывает, что $A$ является членом последовательности. Это четвертый член последовательности.

Ответ: Число $A = \frac{11}{5}$ является 4-м членом последовательности.

б) $y_n = 2^{3n-11}$, $A = 128$

Составим и решим уравнение $y_n = A$:

$2^{3n-11} = 128$

Представим число 128 в виде степени с основанием 2: $128 = 2^7$.

$2^{3n-11} = 2^7$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$3n - 11 = 7$

$3n = 7 + 11$

$3n = 18$

$n = \frac{18}{3}$

$n = 6$

Поскольку мы нашли натуральное число $n=6$, это доказывает, что $A$ является членом последовательности. Это шестой член последовательности.

Ответ: Число $A = 128$ является 6-м членом последовательности.

в) $y_n = 3(n + 2)^{-2}$, $A = \frac{1}{12}$

Составим и решим уравнение $y_n = A$. Сначала преобразуем выражение для $y_n$:

$y_n = \frac{3}{(n + 2)^2}$

Теперь решим уравнение:

$\frac{3}{(n + 2)^2} = \frac{1}{12}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$3 \cdot 12 = 1 \cdot (n + 2)^2$

$36 = (n + 2)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку $n$ — натуральное число, $n+2$ всегда положительно, поэтому рассматриваем только положительный корень:

$n + 2 = \sqrt{36}$

$n + 2 = 6$

$n = 4$

Поскольку мы нашли натуральное число $n=4$, это доказывает, что $A$ является членом последовательности. Это четвертый член последовательности.

Ответ: Число $A = \frac{1}{12}$ является 4-м членом последовательности.

г) $y_n = (n - 2)^3 - 1$, $A = 342$

Составим и решим уравнение $y_n = A$:

$(n - 2)^3 - 1 = 342$

Решим это уравнение относительно $n$:

$(n - 2)^3 = 342 + 1$

$(n - 2)^3 = 343$

Извлечем кубический корень из обеих частей. Так как $7^3 = 343$, получаем:

$n - 2 = 7$

$n = 7 + 2$

$n = 9$

Поскольку мы нашли натуральное число $n=9$, это доказывает, что $A$ является членом последовательности. Это девятый член последовательности.

Ответ: Число $A = 342$ является 9-м членом последовательности.