Номер 15.21, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

15.21 a) $x_1 = 1, x_n = n \cdot x_{n-1}$ ($n = 2, 3, 4, ...$);

б) $x_1 = -3, x_n = -x_{n-1}$ ($n = 2, 3, 4, ...$);

в) $x_1 = -512, x_n = 0,5 \cdot x_{n-1}$ ($n = 2, 3, 4, ...$);

г) $x_1 = 1, x_n = x_{n-1} : 0,1$ ($n = 2, 3, 4, ...$).

а) Последовательность задана условиями $x_1 = 1$ и $x_n = n \cdot x_{n-1}$ для $n \ge 2$. Вычислим первые несколько членов: $x_1 = 1$; $x_2 = 2 \cdot x_1 = 2$; $x_3 = 3 \cdot x_2 = 6$; $x_4 = 4 \cdot x_3 = 24$. Можно заметить, что $x_n$ равно факториалу числа $n$. Докажем это. Выразим $x_n$ через $x_1$ путем последовательной подстановки: $x_n = n \cdot x_{n-1} = n \cdot (n-1) \cdot x_{n-2} = \dots = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 2 \cdot x_1$. Поскольку $x_1 = 1$, получаем $x_n = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1$, что является определением факториала $n!$.
Ответ: $x_n = n!$.

б) Последовательность задана условиями $x_1 = -3$ и $x_n = -x_{n-1}$ для $n \ge 2$. Данная последовательность является геометрической прогрессией, так как каждый её член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на постоянное число (знаменатель прогрессии). Первый член $b_1 = x_1 = -3$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{x_n}{x_{n-1}} = -1$. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставив наши значения, получаем $x_n = -3 \cdot (-1)^{n-1}$.
Ответ: $x_n = -3(-1)^{n-1}$.

в) Последовательность задана условиями $x_1 = -512$ и $x_n = 0,5 \cdot x_{n-1}$ для $n \ge 2$. Это геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = x_1 = -512$ и знаменателем $q = 0,5$. По формуле n-го члена геометрической прогрессии $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$, имеем $x_n = -512 \cdot (0,5)^{n-1}$. Упростим это выражение. Заметим, что $512 = 2^9$ и $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$. Тогда $x_n = -2^9 \cdot (2^{-1})^{n-1} = -2^9 \cdot 2^{-(n-1)} = -2^9 \cdot 2^{-n+1} = -2^{9-n+1} = -2^{10-n}$.
Ответ: $x_n = -2^{10-n}$.

г) Последовательность задана условиями $x_1 = 1$ и $x_n = x_{n-1} : 0,1$ для $n \ge 2$. Рекуррентное соотношение можно переписать. Деление на $0,1$ это то же самое, что умножение на $10$, поэтому $x_n = 10 \cdot x_{n-1}$. Это геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = x_1 = 1$ и знаменателем $q=10$. По формуле n-го члена геометрической прогрессии $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$, получаем $x_n = 1 \cdot 10^{n-1} = 10^{n-1}$.
Ответ: $x_n = 10^{n-1}$.