Номер 15.19, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

15.19 Является ли членом последовательности $(y_n)$ данное число $B$? Если является, то укажите номер соответствующего члена последовательности:

а) $y_n = -n^5 + 3$, $B = -240$;

б) $y_n = \frac{n^2 + 4n + 45}{n^2 + 25}$, $B = 1,8$;

в) $y_n = n^2 + 15n + 16$, $B = -40$;

г) $y_n = (\sqrt[3]{3})^{7n - 6}$, $B = 243$.

а) Чтобы определить, является ли число $B = -240$ членом последовательности $y_n = -n^5 + 3$, необходимо решить уравнение $y_n = B$ и проверить, является ли решение для $n$ натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).
$-n^5 + 3 = -240$
Перенесем 3 в правую часть:
$-n^5 = -240 - 3$
$-n^5 = -243$
Умножим обе части на -1:
$n^5 = 243$
Найдем $n$, извлекая корень пятой степени:
$n = \sqrt[5]{243}$
Поскольку $3^5 = 243$, то $n = 3$.
Так как $n=3$ является натуральным числом, число $B=-240$ является членом последовательности с номером 3.
Ответ: да, является, номер члена последовательности $n=3$.

б) Проверим, является ли число $B = 1,8$ членом последовательности $y_n = \frac{n^2 + 4n + 45}{n^2 + 25}$.
Составим уравнение $y_n = B$:
$\frac{n^2 + 4n + 45}{n^2 + 25} = 1,8$
Представим десятичную дробь 1,8 в виде обыкновенной: $1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$.
$\frac{n^2 + 4n + 45}{n^2 + 25} = \frac{9}{5}$
Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$5(n^2 + 4n + 45) = 9(n^2 + 25)$
$5n^2 + 20n + 225 = 9n^2 + 225$
Вычтем 225 из обеих частей:
$5n^2 + 20n = 9n^2$
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$9n^2 - 5n^2 - 20n = 0$
$4n^2 - 20n = 0$
Вынесем за скобки общий множитель $4n$:
$4n(n - 5) = 0$
Это уравнение имеет два решения: $n = 0$ или $n = 5$.
Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, корень $n = 0$ не подходит. Корень $n=5$ является натуральным числом.
Ответ: да, является, номер члена последовательности $n=5$.

в) Проверим, является ли число $B = -40$ членом последовательности $y_n = n^2 + 15n + 16$.
Приравняем $y_n$ к $B$:
$n^2 + 15n + 16 = -40$
Перенесем -40 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$n^2 + 15n + 16 + 40 = 0$
$n^2 + 15n + 56 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1$
Найдем корни уравнения:
$n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1}$
$n_1 = \frac{-15 - 1}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
$n_2 = \frac{-15 + 1}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
Оба полученных корня являются отрицательными числами, а номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным.
Ответ: нет, не является.

г) Проверим, является ли число $B = 243$ членом последовательности $y_n = (\sqrt[3]{3})^{7n-6}$.
Составим уравнение $y_n = B$:
$(\sqrt[3]{3})^{7n-6} = 243$
Чтобы решить это показательное уравнение, представим обе его части в виде степени с одинаковым основанием 3.
Левая часть: $(\sqrt[3]{3})^{7n-6} = (3^{1/3})^{7n-6} = 3^{\frac{7n-6}{3}}$.
Правая часть: $243 = 3^5$.
Теперь уравнение выглядит так:
$3^{\frac{7n-6}{3}} = 3^5$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$\frac{7n-6}{3} = 5$
Умножим обе части на 3:
$7n - 6 = 15$
Прибавим 6 к обеим частям:
$7n = 21$
Разделим на 7:
$n = 3$
Поскольку $n=3$ является натуральным числом, число $B=243$ является членом последовательности.
Ответ: да, является, номер члена последовательности $n=3$.