Номер 15.13, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

15.13 a) $a_n = \frac{1}{n+5};$

б) $d_n = \frac{-2}{3-4n};$

В) $c_n = \frac{3}{2n+4};$

Г) $a_n = \frac{-3}{4n-1}.$

а) Дана последовательность, заданная формулой $a_n = \frac{1}{n+5}$. Требуется найти ее предел при $n \to \infty$.

Предел последовательности вычисляется как $\lim_{n \to \infty} a_n$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+5}$

Рассмотрим поведение числителя и знаменателя при $n \to \infty$.
Числитель — это константа 1.
Знаменатель $n+5$ неограниченно возрастает (стремится к бесконечности), когда $n$ стремится к бесконечности.

Когда мы делим постоянное число на бесконечно большую величину, результат стремится к нулю. Таким образом:

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+5} = 0$

Ответ: $0$

б) Дана последовательность, заданная формулой $d_n = \frac{-2}{3-4n}$. Найдем ее предел при $n \to \infty$.

$\lim_{n \to \infty} d_n = \lim_{n \to \infty} \frac{-2}{3-4n}$

Для нахождения этого предела разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $n$, то есть на $n$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{-2}{n}}{\frac{3}{n}-\frac{4n}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{-2}{n}}{\frac{3}{n}-4}$

Используем свойство пределов, согласно которому $\lim_{n \to \infty} \frac{c}{n^k} = 0$ для любой константы $c$ и $k>0$.

$\frac{\lim_{n \to \infty} (\frac{-2}{n})}{\lim_{n \to \infty} (\frac{3}{n}) - \lim_{n \to \infty} 4} = \frac{0}{0-4} = \frac{0}{-4} = 0$

Ответ: $0$

в) Дана последовательность, заданная формулой $c_n = \frac{3}{2n+4}$. Найдем ее предел при $n \to \infty$.

$\lim_{n \to \infty} c_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{2n+4}$

Числитель дроби — константа 3. Знаменатель $2n+4$ стремится к бесконечности при $n \to \infty$.

Деление константы на бесконечно большую величину дает в пределе ноль. Проверим это, разделив числитель и знаменатель на $n$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n}}{\frac{2n}{n}+\frac{4}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n}}{2+\frac{4}{n}}$

Применяя свойство пределов, получаем:

$\frac{\lim_{n \to \infty} (\frac{3}{n})}{\lim_{n \to \infty} 2 + \lim_{n \to \infty} (\frac{4}{n})} = \frac{0}{2+0} = 0$

Ответ: $0$

г) Дана последовательность, заданная формулой $a_n = \frac{-3}{4n-1}$. Найдем ее предел при $n \to \infty$.

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{-3}{4n-1}$

Как и в предыдущих случаях, числитель является константой (-3), а знаменатель $4n-1$ стремится к бесконечности при $n \to \infty$. Следовательно, предел последовательности равен нулю.

Для формального доказательства разделим числитель и знаменатель на $n$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{-3}{n}}{\frac{4n}{n}-\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{-3}{n}}{4-\frac{1}{n}}$

Используя свойства пределов, имеем:

$\frac{\lim_{n \to \infty} (\frac{-3}{n})}{\lim_{n \to \infty} 4 - \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n})} = \frac{0}{4-0} = 0$

Ответ: $0$