Номер 15.14, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

15.14 а) $x_n = n^2 + 1;$

б) $y_n = -n^3 - 10;$

В) $z_n = -n^3 + 5;$

Г) $w_n = n^2 - 15.$

а) $x_n = n^2 + 1$

Дана числовая последовательность, n-й член которой задается формулой $x_n = n^2 + 1$, где $n \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел, $n=1, 2, 3, \ldots$). Исследуем эту последовательность на монотонность и ограниченность.

Исследование на монотонность.

Чтобы определить, является ли последовательность возрастающей или убывающей, сравним два соседних члена: $x_n$ и $x_{n+1}$. Для этого найдем разность $x_{n+1} - x_n$.

Сначала выразим $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = (n+1)^2 + 1 = (n^2 + 2n + 1) + 1 = n^2 + 2n + 2$.

Теперь вычислим разность: $x_{n+1} - x_n = (n^2 + 2n + 2) - (n^2 + 1) = n^2 + 2n + 2 - n^2 - 1 = 2n + 1$.

Так как $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Следовательно, выражение $2n + 1$ всегда будет положительным: $2n + 1 \ge 2(1) + 1 = 3 > 0$. Поскольку разность $x_{n+1} - x_n$ всегда положительна, каждый следующий член последовательности больше предыдущего ($x_{n+1} > x_n$). Значит, последовательность является строго возрастающей.

Исследование на ограниченность.

Ограниченность снизу: Поскольку последовательность строго возрастает, ее наименьшим членом является первый член $x_1$. Найдем его: $x_1 = 1^2 + 1 = 2$. Все члены последовательности будут больше или равны 2 ($x_n \ge 2$), следовательно, последовательность ограничена снизу.

Ограниченность сверху: Чтобы проверить, ограничена ли последовательность сверху, найдем ее предел при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} (n^2 + 1) = +\infty$. Так как предел равен бесконечности, последовательность неограниченно возрастает и не ограничена сверху.

Ответ: последовательность является строго возрастающей и ограниченной снизу.

б) $y_n = -n^3 - 10$

Исследуем последовательность, заданную формулой $y_n = -n^3 - 10$, где $n \in \mathbb{N}$.

Исследование на монотонность.

Найдем разность $y_{n+1} - y_n$. $y_{n+1} = -(n+1)^3 - 10 = -(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - 10 = -n^3 - 3n^2 - 3n - 11$.

$y_{n+1} - y_n = (-n^3 - 3n^2 - 3n - 11) - (-n^3 - 10) = -3n^2 - 3n - 1 = -(3n^2 + 3n + 1)$.

Для любого натурального $n \ge 1$ выражение в скобках $3n^2 + 3n + 1$ всегда положительно. Следовательно, вся разность $-(3n^2 + 3n + 1)$ всегда отрицательна. Так как $y_{n+1} - y_n < 0$, то $y_{n+1} < y_n$. Последовательность является строго убывающей.

Исследование на ограниченность.

Ограниченность сверху: Поскольку последовательность строго убывает, ее наибольшим членом является первый член $y_1$. $y_1 = -1^3 - 10 = -1 - 10 = -11$. Все члены последовательности меньше или равны -11 ($y_n \le -11$), следовательно, последовательность ограничена сверху.

Ограниченность снизу: Найдем предел последовательности при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} (-n^3 - 10) = -\infty$. Предел равен минус бесконечности, значит, последовательность не ограничена снизу.

Ответ: последовательность является строго убывающей и ограниченной сверху.

в) $z_n = -n^3 + 5$

Исследуем последовательность, заданную формулой $z_n = -n^3 + 5$, где $n \in \mathbb{N}$.

Исследование на монотонность.

Найдем разность $z_{n+1} - z_n$. $z_{n+1} = -(n+1)^3 + 5 = -(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + 5 = -n^3 - 3n^2 - 3n + 4$.

$z_{n+1} - z_n = (-n^3 - 3n^2 - 3n + 4) - (-n^3 + 5) = -3n^2 - 3n - 1 = -(3n^2 + 3n + 1)$.

Как и в пункте б), разность $z_{n+1} - z_n$ всегда отрицательна для $n \in \mathbb{N}$. Следовательно, $z_{n+1} < z_n$, и последовательность является строго убывающей.

Исследование на ограниченность.

Ограниченность сверху: Так как последовательность строго убывает, она ограничена сверху своим первым членом $z_1$. $z_1 = -1^3 + 5 = -1 + 5 = 4$. Все члены последовательности $z_n \le 4$, значит, последовательность ограничена сверху.

Ограниченность снизу: Найдем предел при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} z_n = \lim_{n \to \infty} (-n^3 + 5) = -\infty$. Последовательность не ограничена снизу.

Ответ: последовательность является строго убывающей и ограниченной сверху.

г) $w_n = n^2 - 15$

Исследуем последовательность, заданную формулой $w_n = n^2 - 15$, где $n \in \mathbb{N}$.

Исследование на монотонность.

Найдем разность $w_{n+1} - w_n$. $w_{n+1} = (n+1)^2 - 15 = (n^2 + 2n + 1) - 15 = n^2 + 2n - 14$.

$w_{n+1} - w_n = (n^2 + 2n - 14) - (n^2 - 15) = n^2 + 2n - 14 - n^2 + 15 = 2n + 1$.

Как и в пункте а), разность $w_{n+1} - w_n = 2n + 1$ всегда положительна для $n \in \mathbb{N}$. Следовательно, $w_{n+1} > w_n$, и последовательность является строго возрастающей.

Исследование на ограниченность.

Ограниченность снизу: Так как последовательность строго возрастает, она ограничена снизу своим первым членом $w_1$. $w_1 = 1^2 - 15 = 1 - 15 = -14$. Все члены последовательности $w_n \ge -14$, значит, последовательность ограничена снизу.

Ограниченность сверху: Найдем предел при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} w_n = \lim_{n \to \infty} (n^2 - 15) = +\infty$. Последовательность не ограничена сверху.

Ответ: последовательность является строго возрастающей и ограниченной снизу.