Номер 15.20, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Выпишите первые шесть членов последовательности ($x_n$), заданной рекуррентно:

15.20 a) $x_1 = 1, x_n = -x_{n-1} + 5 (n=2, 3, 4, ...)$

б) $x_1 = -5, x_n = x_{n-1} + 10 (n=2, 3, 4, ...)$

в) $x_1 = 1, x_n = 2 + x_{n-1} (n=2, 3, 4, ...)$

г) $x_1 = -3, x_n = -x_{n-1} - 2 (n=2, 3, 4, ...)$

а)

Последовательность $(x_n)$ задана рекуррентной формулой $x_n = -x_{n-1} + 5$ для $n=2, 3, 4, \dots$ и начальным членом $x_1 = 1$.

Для нахождения первых шести членов последовательности будем последовательно вычислять каждый следующий член, используя предыдущий.

Первый член задан: $x_1 = 1$.

Вычисляем второй член (при $n=2$):
$x_2 = -x_{2-1} + 5 = -x_1 + 5 = -1 + 5 = 4$.

Вычисляем третий член (при $n=3$):
$x_3 = -x_{3-1} + 5 = -x_2 + 5 = -4 + 5 = 1$.

Вычисляем четвертый член (при $n=4$):
$x_4 = -x_{4-1} + 5 = -x_3 + 5 = -1 + 5 = 4$.

Вычисляем пятый член (при $n=5$):
$x_5 = -x_{5-1} + 5 = -x_4 + 5 = -4 + 5 = 1$.

Вычисляем шестой член (при $n=6$):
$x_6 = -x_{6-1} + 5 = -x_5 + 5 = -1 + 5 = 4$.

Таким образом, первые шесть членов последовательности: 1, 4, 1, 4, 1, 4.

Ответ: 1, 4, 1, 4, 1, 4.

б)

Последовательность $(x_n)$ задана рекуррентной формулой $x_n = x_{n-1} + 10$ для $n=2, 3, 4, \dots$ и начальным членом $x_1 = -5$.

Данная последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = -5$ и разностью $d = 10$.

Первый член задан: $x_1 = -5$.

Вычисляем второй член (при $n=2$):
$x_2 = x_1 + 10 = -5 + 10 = 5$.

Вычисляем третий член (при $n=3$):
$x_3 = x_2 + 10 = 5 + 10 = 15$.

Вычисляем четвертый член (при $n=4$):
$x_4 = x_3 + 10 = 15 + 10 = 25$.

Вычисляем пятый член (при $n=5$):
$x_5 = x_4 + 10 = 25 + 10 = 35$.

Вычисляем шестой член (при $n=6$):
$x_6 = x_5 + 10 = 35 + 10 = 45$.

Таким образом, первые шесть членов последовательности: -5, 5, 15, 25, 35, 45.

Ответ: -5, 5, 15, 25, 35, 45.

в)

Последовательность $(x_n)$ задана рекуррентной формулой $x_n = 2 + x_{n-1}$ для $n=2, 3, 4, \dots$ и начальным членом $x_1 = 1$.

Данная последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = 1$ и разностью $d = 2$.

Первый член задан: $x_1 = 1$.

Вычисляем второй член (при $n=2$):
$x_2 = 2 + x_1 = 2 + 1 = 3$.

Вычисляем третий член (при $n=3$):
$x_3 = 2 + x_2 = 2 + 3 = 5$.

Вычисляем четвертый член (при $n=4$):
$x_4 = 2 + x_3 = 2 + 5 = 7$.

Вычисляем пятый член (при $n=5$):
$x_5 = 2 + x_4 = 2 + 7 = 9$.

Вычисляем шестой член (при $n=6$):
$x_6 = 2 + x_5 = 2 + 9 = 11$.

Таким образом, первые шесть членов последовательности: 1, 3, 5, 7, 9, 11.

Ответ: 1, 3, 5, 7, 9, 11.

г)

Последовательность $(x_n)$ задана рекуррентной формулой $x_n = -x_{n-1} - 2$ для $n=2, 3, 4, \dots$ и начальным членом $x_1 = -3$.

Для нахождения первых шести членов последовательности будем последовательно вычислять каждый следующий член, используя предыдущий.

Первый член задан: $x_1 = -3$.

Вычисляем второй член (при $n=2$):
$x_2 = -x_1 - 2 = -(-3) - 2 = 3 - 2 = 1$.

Вычисляем третий член (при $n=3$):
$x_3 = -x_2 - 2 = -(1) - 2 = -1 - 2 = -3$.

Вычисляем четвертый член (при $n=4$):
$x_4 = -x_3 - 2 = -(-3) - 2 = 3 - 2 = 1$.

Вычисляем пятый член (при $n=5$):
$x_5 = -x_4 - 2 = -(1) - 2 = -1 - 2 = -3$.

Вычисляем шестой член (при $n=6$):
$x_6 = -x_5 - 2 = -(-3) - 2 = 3 - 2 = 1$.

Таким образом, первые шесть членов последовательности: -3, 1, -3, 1, -3, 1.

Ответ: -3, 1, -3, 1, -3, 1.