Номер 15.22, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

15.22 Докажите, что последовательность $(y_n)$ является возрастающей:

а) $y_n = 3n + 4$;

б) $y_n = 5n^2 - 3$;

в) $y_n = 7n - 2$;

г) $y_n = 4n^2 - 1$.

Для того чтобы доказать, что последовательность $(y_n)$ является возрастающей, необходимо показать, что для любого натурального числа $n$ выполняется неравенство $y_{n+1} > y_n$, что равносильно условию $y_{n+1} - y_n > 0$.

а)

Рассмотрим последовательность $y_n = 3n + 4$. Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $y_{n+1} = 3(n+1) + 4 = 3n + 3 + 4 = 3n + 7$.

Найдем разность $y_{n+1} - y_n$: $y_{n+1} - y_n = (3n + 7) - (3n + 4) = 3$.

Так как разность $y_{n+1} - y_n = 3 > 0$ для любого натурального $n$, последовательность является возрастающей.

Ответ: доказано.

б)

Рассмотрим последовательность $y_n = 5n^2 - 3$. Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $y_{n+1} = 5(n+1)^2 - 3 = 5(n^2 + 2n + 1) - 3 = 5n^2 + 10n + 5 - 3 = 5n^2 + 10n + 2$.

Найдем разность $y_{n+1} - y_n$: $y_{n+1} - y_n = (5n^2 + 10n + 2) - (5n^2 - 3) = 10n + 5$.

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $10n + 5 \ge 10(1) + 5 = 15 > 0$. Так как разность $y_{n+1} - y_n$ всегда положительна, последовательность является возрастающей.

Ответ: доказано.

в)

Рассмотрим последовательность $y_n = 7n - 2$. Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $y_{n+1} = 7(n+1) - 2 = 7n + 7 - 2 = 7n + 5$.

Найдем разность $y_{n+1} - y_n$: $y_{n+1} - y_n = (7n + 5) - (7n - 2) = 7$.

Так как разность $y_{n+1} - y_n = 7 > 0$ для любого натурального $n$, последовательность является возрастающей.

Ответ: доказано.

г)

Рассмотрим последовательность $y_n = 4n^2 - 1$. Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $y_{n+1} = 4(n+1)^2 - 1 = 4(n^2 + 2n + 1) - 1 = 4n^2 + 8n + 4 - 1 = 4n^2 + 8n + 3$.

Найдем разность $y_{n+1} - y_n$: $y_{n+1} - y_n = (4n^2 + 8n + 3) - (4n^2 - 1) = 8n + 4$.

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $8n + 4 \ge 8(1) + 4 = 12 > 0$. Так как разность $y_{n+1} - y_n$ всегда положительна, последовательность является возрастающей.

Ответ: доказано.