Номер 15.23, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

15.23 Докажите, что последовательность $(y_n)$ является убывающей:

а) $y_n = -2n - 3;$

б) $y_n = -3n^3 + 4;$

в) $y_n = 4 - 5n;$

г) $y_n = -n^3 + 8.$

Чтобы доказать, что последовательность $(y_n)$ является убывающей, необходимо показать, что для любого натурального номера $n$ выполняется неравенство $y_{n+1} < y_n$. Это равносильно доказательству того, что разность $y_{n+1} - y_n$ отрицательна для любого натурального $n$.

а) $y_n = -2n - 3$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив $n+1$ вместо $n$:
$y_{n+1} = -2(n+1) - 3 = -2n - 2 - 3 = -2n - 5$.

Теперь найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами:
$y_{n+1} - y_n = (-2n - 5) - (-2n - 3) = -2n - 5 + 2n + 3 = -2$.

Поскольку разность $y_{n+1} - y_n = -2$ является отрицательным числом (меньше нуля) для любого натурального $n$, то $y_{n+1} < y_n$. Следовательно, последовательность является убывающей.

Ответ: Доказано.

б) $y_n = -3n^3 + 4$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$y_{n+1} = -3(n+1)^3 + 4$.

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:
$y_{n+1} = -3(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + 4 = -3n^3 - 9n^2 - 9n - 3 + 4 = -3n^3 - 9n^2 - 9n + 1$.

Найдем разность $y_{n+1} - y_n$:
$y_{n+1} - y_n = (-3n^3 - 9n^2 - 9n + 1) - (-3n^3 + 4) = -3n^3 - 9n^2 - 9n + 1 + 3n^3 - 4 = -9n^2 - 9n - 3$.

Рассмотрим знак этого выражения: $-9n^2 - 9n - 3 = -3(3n^2 + 3n + 1)$.
Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n^2 \ge 1$ и $n \ge 1$. Все слагаемые в скобках $3n^2$, $3n$ и $1$ положительны. Следовательно, их сумма $3n^2 + 3n + 1$ всегда положительна.
Тогда произведение $-3(3n^2 + 3n + 1)$ всегда отрицательно.

Таким образом, $y_{n+1} - y_n < 0$ для любого натурального $n$, и последовательность является убывающей.

Ответ: Доказано.

в) $y_n = 4 - 5n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$y_{n+1} = 4 - 5(n+1) = 4 - 5n - 5 = -5n - 1$.

Найдем разность $y_{n+1} - y_n$:
$y_{n+1} - y_n = (-5n - 1) - (4 - 5n) = -5n - 1 - 4 + 5n = -5$.

Поскольку разность $y_{n+1} - y_n = -5$ всегда отрицательна, то $y_{n+1} < y_n$ для любого натурального $n$. Следовательно, последовательность является убывающей.

Ответ: Доказано.

г) $y_n = -n^3 + 8$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$y_{n+1} = -(n+1)^3 + 8 = -(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + 8 = -n^3 - 3n^2 - 3n - 1 + 8 = -n^3 - 3n^2 - 3n + 7$.

Найдем разность $y_{n+1} - y_n$:
$y_{n+1} - y_n = (-n^3 - 3n^2 - 3n + 7) - (-n^3 + 8) = -n^3 - 3n^2 - 3n + 7 + n^3 - 8 = -3n^2 - 3n - 1$.

Рассмотрим знак этого выражения: $-3n^2 - 3n - 1 = -(3n^2 + 3n + 1)$.
Так как $n$ — натуральное число, выражение в скобках $3n^2 + 3n + 1$ всегда положительно (как показано в пункте б).
Следовательно, вся разность $-(3n^2 + 3n + 1)$ всегда отрицательна.

Таким образом, $y_{n+1} - y_n < 0$ для любого натурального $n$, и последовательность является убывающей.

Ответ: Доказано.