Номер 15.30, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

15.30 Выпишите первые шесть членов последовательности ($x_n$), у которой $x_1 = -3$, $x_2 = -2$ и каждый член, начиная с третьего, равен удвоенной сумме двух предыдущих членов. Составьте рекуррентное задание последовательности.

Нахождение первых шести членов последовательности

По условию задачи, первые два члена последовательности $(x_n)$ равны:

$x_1 = -3$

$x_2 = -2$

Каждый член, начиная с третьего, равен удвоенной сумме двух предыдущих. Это правило можно записать в виде рекуррентной формулы: $x_n = 2(x_{n-1} + x_{n-2})$ для $n \ge 3$.

Вычислим последовательно члены с третьего по шестой:

Третий член: $x_3 = 2(x_2 + x_1) = 2(-2 + (-3)) = 2(-5) = -10$.

Четвертый член: $x_4 = 2(x_3 + x_2) = 2(-10 + (-2)) = 2(-12) = -24$.

Пятый член: $x_5 = 2(x_4 + x_3) = 2(-24 + (-10)) = 2(-34) = -68$.

Шестой член: $x_6 = 2(x_5 + x_4) = 2(-68 + (-24)) = 2(-92) = -184$.

Таким образом, первые шесть членов последовательности:

Ответ: -3, -2, -10, -24, -68, -184.

Составление рекуррентного задания последовательности

Рекуррентное задание последовательности состоит из двух частей: начальных условий и рекуррентной формулы.

1. Начальные условия: это заданные первые члены, которые необходимы для начала вычислений. В данном случае это $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$.

2. Рекуррентная формула: это правило, по которому вычисляются последующие члены через предыдущие. Из условия "каждый член, начиная с третьего, равен удвоенной сумме двух предыдущих членов" следует формула $x_n = 2(x_{n-1} + x_{n-2})$. Эта формула применяется для $n \ge 3$.

Объединяя эти два элемента, получаем полное рекуррентное задание последовательности.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = -2$; $x_n = 2(x_{n-1} + x_{n-2})$ при $n \ge 3$.