Номер 15.29, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

15.29 a) $- \frac{2}{2}, \frac{4}{5}, - \frac{6}{8}, \frac{8}{11}, - \frac{10}{14}, \dots;$

б) $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2\sqrt{2}}, \frac{7}{4}, \frac{9}{4\sqrt{2}}, \dots;$

В) $\frac{2}{5}, - \frac{4}{10}, \frac{8}{15}, - \frac{16}{20}, \frac{32}{25}, \dots;$

Г) $- \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 2}}, \frac{4}{\sqrt{2 \cdot 3}}, - \frac{9}{\sqrt{3 \cdot 4}}, \frac{16}{\sqrt{4 \cdot 5}}, - \frac{25}{\sqrt{5 \cdot 6}}, \dots;$

а) Обозначим n-й член последовательности как $x_n$. Последовательность: $-\frac{2}{2}, \frac{4}{5}, -\frac{6}{8}, \frac{8}{11}, -\frac{10}{14}, \dots$. Проанализируем закономерности для знака, числителя и знаменателя. 1. Знаки членов последовательности чередуются, начиная с минуса. Это соответствует множителю $(-1)^n$, так как при $n=1$ он равен -1, при $n=2$ равен 1, и так далее. 2. Числители образуют последовательность $2, 4, 6, 8, 10, \dots$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1=2$ и разностью $d=2$. Формула для n-го члена этой прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d = 2 + (n-1)2 = 2n$. 3. Знаменатели образуют последовательность $2, 5, 8, 11, 14, \dots$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $b_1=2$ и разностью $d=3$. Формула для n-го члена этой прогрессии: $b_n = b_1 + (n-1)d = 2 + (n-1)3 = 3n-1$. Собирая все вместе, получаем формулу для n-го члена исходной последовательности.
Ответ: $x_n = (-1)^n \frac{2n}{3n-1}$

б) Обозначим n-й член последовательности как $x_n$. Последовательность: $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2\sqrt{2}}, \frac{7}{4}, \frac{9}{4\sqrt{2}}, \dots$. Проанализируем закономерности для числителя и знаменателя. 1. Числители образуют последовательность нечетных чисел $1, 3, 5, 7, 9, \dots$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1=1$ и разностью $d=2$. Формула для n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + (n-1)2 = 2n-1$. 2. Знаменатели образуют последовательность $\sqrt{2}, 2, 2\sqrt{2}, 4, 4\sqrt{2}, \dots$. Преобразуем члены этой последовательности, чтобы увидеть закономерность: $\sqrt{2} = (\sqrt{2})^1$, $2 = (\sqrt{2})^2$, $2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$, $4 = (\sqrt{2})^4$, $4\sqrt{2} = (\sqrt{2})^5, \dots$. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q=\sqrt{2}$. Формула для n-го члена знаменателя: $b_n = (\sqrt{2})^n$ или $b_n = 2^{n/2}$. Собирая все вместе, получаем формулу для n-го члена исходной последовательности.
Ответ: $x_n = \frac{2n-1}{(\sqrt{2})^n}$

в) Обозначим n-й член последовательности как $x_n$. Последовательность: $\frac{2}{5}, -\frac{4}{10}, \frac{8}{15}, -\frac{16}{20}, \frac{32}{25}, \dots$. Проанализируем закономерности для знака, числителя и знаменателя. 1. Знаки членов последовательности чередуются, начиная с плюса. Это соответствует множителю $(-1)^{n-1}$ (или $(-1)^{n+1}$), так как при $n=1$ он равен 1, при $n=2$ равен -1, и так далее. 2. Числители образуют последовательность $2, 4, 8, 16, 32, \dots$. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q=2$, члены которой являются степенями двойки: $2^1, 2^2, 2^3, \dots$. Формула для n-го члена: $a_n = 2^n$. 3. Знаменатели образуют последовательность $5, 10, 15, 20, 25, \dots$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $b_1=5$ и разностью $d=5$. Формула для n-го члена: $b_n = 5n$. Собирая все вместе, получаем формулу для n-го члена исходной последовательности.
Ответ: $x_n = (-1)^{n-1} \frac{2^n}{5n}$

г) Обозначим n-й член последовательности как $x_n$. Последовательность: $-\frac{1}{\sqrt{1 \cdot 2}}, \frac{4}{\sqrt{2 \cdot 3}}, -\frac{9}{\sqrt{3 \cdot 4}}, \frac{16}{\sqrt{4 \cdot 5}}, -\frac{25}{\sqrt{5 \cdot 6}}, \dots$. Проанализируем закономерности для знака, числителя и знаменателя. 1. Знаки членов последовательности чередуются, начиная с минуса. Это соответствует множителю $(-1)^n$. 2. Числители образуют последовательность $1, 4, 9, 16, 25, \dots$. Это последовательность квадратов натуральных чисел: $1^2, 2^2, 3^2, \dots$. Формула для n-го члена: $a_n = n^2$. 3. Знаменатели представляют собой корни из произведений последовательных натуральных чисел. Для n-го члена это будет произведение $n$ и $n+1$. Таким образом, формула для n-го члена знаменателя: $b_n = \sqrt{n(n+1)}$. Собирая все вместе, получаем формулу для n-го члена исходной последовательности.
Ответ: $x_n = (-1)^n \frac{n^2}{\sqrt{n(n+1)}}$