Номер 15.34, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

15.34 Найдите сумму первых семи членов последовательности, заданной словесно: $n$-й член последовательности равен десятичной дроби, целая часть которой равна нулю, а после запятой стоят подряд ровно $n$ единиц.

Согласно условию, n-й член последовательности, обозначим его $a_n$, представляет собой десятичную дробь, у которой целая часть равна нулю, а после запятой следует ровно $n$ единиц.

Выпишем первые семь членов этой последовательности:

• $a_1 = 0.1$
• $a_2 = 0.11$
• $a_3 = 0.111$
• $a_4 = 0.1111$
• $a_5 = 0.11111$
• $a_6 = 0.111111$
• $a_7 = 0.1111111$

Нам необходимо найти сумму этих семи членов. Обозначим эту сумму как $S_7$.

$S_7 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7$

$S_7 = 0.1 + 0.11 + 0.111 + 0.1111 + 0.11111 + 0.111111 + 0.1111111$

Для нахождения суммы проще всего сложить эти числа в столбик, выровняв их по десятичной запятой:

 0.1 0.11 0.111 0.1111 0.11111 0.111111+ 0.1111111----------- 0.7654321

Рассмотрим сложение по разрядам, начиная справа:

• В седьмом разряде после запятой (десятимиллионные) есть только одна цифра 1 (из члена $a_7$), поэтому итоговая цифра — 1.
• В шестом разряде (миллионные) есть две цифры 1 (из членов $a_6$ и $a_7$), их сумма равна 2.
• В пятом разряде (стотысячные) есть три цифры 1 (из $a_5, a_6, a_7$), их сумма равна 3.
• В четвертом разряде (десятитысячные) — четыре цифры 1, их сумма равна 4.
• В третьем разряде (тысячные) — пять цифр 1, их сумма равна 5.
• Во втором разряде (сотые) — шесть цифр 1, их сумма равна 6.
• В первом разряде (десятые) — семь цифр 1, их сумма равна 7.

Таким образом, в результате сложения получаем число 0,7654321.

Ответ: $0.7654321$.