Номер 15.40, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

15.40 Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены последовательности $(x_n)$ будут меньше заданного числа A:

а) $x_n = 3 - 2n, A = -9;$

б) $x_n = 3^{4-n}, A = 0,5;$

в) $x_n = 2 - 3n^2, A = -25;$

г) $x_n = 2^{5-n}, A = 0,75.$

Задача состоит в том, чтобы для каждой последовательности $(x_n)$ найти наименьший натуральный номер $n$, начиная с которого все члены последовательности будут меньше заданного числа $A$. Это означает, что нужно решить неравенство $x_n < A$ относительно $n$ и найти наименьшее целое число, удовлетворяющее этому решению.

а) $x_n = 3 - 2n$, $A = -9$

Составим и решим неравенство $x_n < A$:

$3 - 2n < -9$

Перенесем 3 в правую часть:

$-2n < -9 - 3$

$-2n < -12$

Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$n > \frac{-12}{-2}$

$n > 6$

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, наименьшее целое значение $n$, которое больше 6, это 7. Следовательно, начиная с 7-го члена, все члены последовательности будут меньше -9.

Ответ: 7

б) $x_n = 3^{4-n}$, $A = 0,5$

Составим и решим неравенство $x_n < A$:

$3^{4-n} < 0,5$

$3^{4-n} < \frac{1}{2}$

Последовательность $x_n = 3^{4-n} = \frac{3^4}{3^n} = \frac{81}{3^n}$ является убывающей, так как с ростом $n$ знаменатель увеличивается, а дробь уменьшается. Мы можем найти искомый номер $n$ путем подбора, начиная с $n=1$.

При $n=1: x_1 = 3^{4-1} = 3^3 = 27 > 0,5$

При $n=2: x_2 = 3^{4-2} = 3^2 = 9 > 0,5$

При $n=3: x_3 = 3^{4-3} = 3^1 = 3 > 0,5$

При $n=4: x_4 = 3^{4-4} = 3^0 = 1 > 0,5$

При $n=5: x_5 = 3^{4-5} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$. Так как $\frac{1}{3} \approx 0,333...$, а $0,333... < 0,5$, то неравенство выполняется.

Таким образом, наименьший номер, начиная с которого члены последовательности становятся меньше 0,5, это 5.

Ответ: 5

в) $x_n = 2 - 3n^2$, $A = -25$

Составим и решим неравенство $x_n < A$:

$2 - 3n^2 < -25$

Перенесем 2 в правую часть:

$-3n^2 < -25 - 2$

$-3n^2 < -27$

Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства:

$n^2 > \frac{-27}{-3}$

$n^2 > 9$

Так как $n$ - натуральное число ($n>0$), то извлекая квадратный корень, получаем:

$n > 3$

Наименьшее натуральное число, которое больше 3, это 4.

Ответ: 4

г) $x_n = 2^{5-n}$, $A = 0,75$

Составим и решим неравенство $x_n < A$:

$2^{5-n} < 0,75$

$2^{5-n} < \frac{3}{4}$

Последовательность $x_n = 2^{5-n}$ является убывающей. Найдем искомый номер $n$ путем подбора.

При $n=1: x_1 = 2^{5-1} = 2^4 = 16 > 0,75$

При $n=2: x_2 = 2^{5-2} = 2^3 = 8 > 0,75$

При $n=3: x_3 = 2^{5-3} = 2^2 = 4 > 0,75$

При $n=4: x_4 = 2^{5-4} = 2^1 = 2 > 0,75$

При $n=5: x_5 = 2^{5-5} = 2^0 = 1 > 0,75$

При $n=6: x_6 = 2^{5-6} = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0,5$. Так как $0,5 < 0,75$, неравенство выполняется.

Наименьший номер, начиная с которого члены последовательности становятся меньше 0,75, это 6.

Ответ: 6