Номер 15.38, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

15.38 Постройте график последовательности:

a) $y_n = \frac{3 - n}{2}$;

б) $y_n = \frac{1}{n + 1}$;

в) $y_n = n^2 - 4$;

г) $y_n = \frac{3n}{2}$.

а) Дана последовательность $y_n = \frac{3 - n}{2}$.

График числовой последовательности состоит из набора изолированных точек с координатами $(n; y_n)$, где $n$ — номер члена последовательности, который является натуральным числом ($n = 1, 2, 3, \ldots$).

Вычислим координаты нескольких первых точек графика данной последовательности:
при $n=1$: $y_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1$. Точка $(1; 1)$.
при $n=2$: $y_2 = \frac{3 - 2}{2} = 0.5$. Точка $(2; 0.5)$.
при $n=3$: $y_3 = \frac{3 - 3}{2} = 0$. Точка $(3; 0)$.
при $n=4$: $y_4 = \frac{3 - 4}{2} = -0.5$. Точка $(4; -0.5)$.
при $n=5$: $y_5 = \frac{3 - 5}{2} = -1$. Точка $(5; -1)$.

Все эти точки лежат на прямой, заданной уравнением $y = \frac{3-x}{2}$ или $y = -0.5x + 1.5$. Таким образом, чтобы построить график, нужно начертить эту прямую и отметить на ней точки, абсциссы которых являются натуральными числами.

Ответ: Графиком последовательности является множество точек с координатами $(n, \frac{3-n}{2})$, где $n$ — натуральное число. Эти точки лежат на прямой $y = -0.5x + 1.5$.

б) Дана последовательность $y_n = \frac{1}{n + 1}$.

Вычислим координаты нескольких первых точек графика:
при $n=1$: $y_1 = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$. Точка $(1; 0.5)$.
при $n=2$: $y_2 = \frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$. Точка $(2; \frac{1}{3})$.
при $n=3$: $y_3 = \frac{1}{3 + 1} = \frac{1}{4}$. Точка $(3; 0.25)$.
при $n=4$: $y_4 = \frac{1}{4 + 1} = \frac{1}{5}$. Точка $(4; 0.2)$.
при $n=5$: $y_5 = \frac{1}{5 + 1} = \frac{1}{6}$. Точка $(5; \frac{1}{6})$.

Точки графика этой последовательности лежат на кривой, заданной функцией $y = \frac{1}{x+1}$, которая является гиперболой. Для построения графика нужно отметить на этой кривой точки, соответствующие натуральным значениям $x=n$.

Ответ: Графиком последовательности является множество точек с координатами $(n, \frac{1}{n+1})$, где $n$ — натуральное число. Эти точки лежат на гиперболе $y = \frac{1}{x+1}$.

в) Дана последовательность $y_n = n^2 - 4$.

Вычислим координаты нескольких первых точек графика:
при $n=1$: $y_1 = 1^2 - 4 = -3$. Точка $(1; -3)$.
при $n=2$: $y_2 = 2^2 - 4 = 0$. Точка $(2; 0)$.
при $n=3$: $y_3 = 3^2 - 4 = 5$. Точка $(3; 5)$.
при $n=4$: $y_4 = 4^2 - 4 = 12$. Точка $(4; 12)$.
при $n=5$: $y_5 = 5^2 - 4 = 21$. Точка $(5; 21)$.

Точки графика этой последовательности лежат на кривой, заданной функцией $y = x^2 - 4$, которая является параболой. Для построения графика нужно отметить на этой параболе точки, соответствующие натуральным значениям $x=n$.

Ответ: Графиком последовательности является множество точек с координатами $(n, n^2 - 4)$, где $n$ — натуральное число. Эти точки лежат на параболе $y = x^2 - 4$.

г) Дана последовательность $y_n = \frac{3n}{2}$.

Вычислим координаты нескольких первых точек графика:
при $n=1$: $y_1 = \frac{3 \cdot 1}{2} = 1.5$. Точка $(1; 1.5)$.
при $n=2$: $y_2 = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$. Точка $(2; 3)$.
при $n=3$: $y_3 = \frac{3 \cdot 3}{2} = 4.5$. Точка $(3; 4.5)$.
при $n=4$: $y_4 = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6$. Точка $(4; 6)$.
при $n=5$: $y_5 = \frac{3 \cdot 5}{2} = 7.5$. Точка $(5; 7.5)$.

Точки графика этой последовательности лежат на прямой, заданной уравнением $y = \frac{3}{2}x$ или $y = 1.5x$. Для построения графика нужно начертить эту прямую и отметить на ней точки, абсциссы которых являются натуральными числами.

Ответ: Графиком последовательности является множество точек с координатами $(n, \frac{3n}{2})$, где $n$ — натуральное число. Эти точки лежат на прямой $y = 1.5x$.