Номер 15.41, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

15.41 Докажите, что последовательность возрастает:

а) $a_n = 1 - \frac{1}{2n}$;

б) $b_n = \frac{n-1}{n}$;

в) $c_n = 1 - \frac{1}{2^n}$;

г) $d_n = \frac{5n}{n+1}$.

Для того чтобы доказать, что последовательность является возрастающей, необходимо показать, что каждый следующий её член больше предыдущего, то есть для любого натурального $n$ выполняется неравенство $x_{n+1} > x_n$. Это эквивалентно доказательству того, что разность $x_{n+1} - x_n$ положительна.

а) Дана последовательность $a_n = 1 - \frac{1}{2n}$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив $n+1$ вместо $n$:

$a_{n+1} = 1 - \frac{1}{2(n+1)}$.

Рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$:

$a_{n+1} - a_n = \left(1 - \frac{1}{2(n+1)}\right) - \left(1 - \frac{1}{2n}\right) = 1 - \frac{1}{2n+2} - 1 + \frac{1}{2n} = \frac{1}{2n} - \frac{1}{2n+2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $2n(n+1)$:

$a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{2n(n+1)} - \frac{n}{2n(n+1)} = \frac{(n+1) - n}{2n(n+1)} = \frac{1}{2n(n+1)}$.

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n > 0$ и $n+1 > 0$. Следовательно, знаменатель $2n(n+1)$ всегда положителен. Числитель равен 1, он также положителен. Таким образом, вся дробь положительна:

$\frac{1}{2n(n+1)} > 0$.

Так как $a_{n+1} - a_n > 0$, то $a_{n+1} > a_n$ для любого натурального $n$. Следовательно, последовательность $a_n$ возрастает.

Ответ: последовательность возрастает, что и требовалось доказать.

б) Дана последовательность $b_n = \frac{n-1}{n}$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$b_{n+1} = \frac{(n+1)-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.

Рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n$:

$b_{n+1} - b_n = \frac{n}{n+1} - \frac{n-1}{n}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $n(n+1)$:

$b_{n+1} - b_n = \frac{n \cdot n}{n(n+1)} - \frac{(n-1)(n+1)}{n(n+1)} = \frac{n^2 - (n^2 - 1)}{n(n+1)} = \frac{n^2 - n^2 + 1}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$.

Так как $n \ge 1$, знаменатель $n(n+1)$ всегда положителен. Числитель равен 1. Значит, вся дробь положительна:

$\frac{1}{n(n+1)} > 0$.

Так как $b_{n+1} - b_n > 0$, то $b_{n+1} > b_n$ для любого натурального $n$. Следовательно, последовательность $b_n$ возрастает.

Ответ: последовательность возрастает, что и требовалось доказать.

в) Дана последовательность $c_n = 1 - \frac{1}{2^n}$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$c_{n+1} = 1 - \frac{1}{2^{n+1}}$.

Рассмотрим разность $c_{n+1} - c_n$:

$c_{n+1} - c_n = \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right) - \left(1 - \frac{1}{2^n}\right) = 1 - \frac{1}{2^{n+1}} - 1 + \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2^n} - \frac{1}{2^{n+1}}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $2^{n+1}$ (учитывая, что $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n$):

$c_{n+1} - c_n = \frac{2}{2 \cdot 2^n} - \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{2}{2^{n+1}} - \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{2-1}{2^{n+1}} = \frac{1}{2^{n+1}}$.

Для любого натурального $n$, знаменатель $2^{n+1}$ является положительным числом. Числитель равен 1. Значит, вся дробь положительна:

$\frac{1}{2^{n+1}} > 0$.

Так как $c_{n+1} - c_n > 0$, то $c_{n+1} > c_n$ для любого натурального $n$. Следовательно, последовательность $c_n$ возрастает.

Ответ: последовательность возрастает, что и требовалось доказать.

г) Дана последовательность $d_n = \frac{5n}{n+1}$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$d_{n+1} = \frac{5(n+1)}{(n+1)+1} = \frac{5n+5}{n+2}$.

Рассмотрим разность $d_{n+1} - d_n$:

$d_{n+1} - d_n = \frac{5n+5}{n+2} - \frac{5n}{n+1}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(n+2)(n+1)$:

$d_{n+1} - d_n = \frac{(5n+5)(n+1)}{(n+2)(n+1)} - \frac{5n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{5n^2+5n+5n+5 - (5n^2+10n)}{(n+2)(n+1)}$.

$d_{n+1} - d_n = \frac{5n^2+10n+5 - 5n^2-10n}{(n+2)(n+1)} = \frac{5}{(n+2)(n+1)}$.

Так как $n \ge 1$, то $n+1 > 0$ и $n+2 > 0$. Знаменатель $(n+2)(n+1)$ всегда положителен. Числитель равен 5, он также положителен. Значит, вся дробь положительна:

$\frac{5}{(n+2)(n+1)} > 0$.

Так как $d_{n+1} - d_n > 0$, то $d_{n+1} > d_n$ для любого натурального $n$. Следовательно, последовательность $d_n$ возрастает.

Ответ: последовательность возрастает, что и требовалось доказать.