Номер 15.28, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Составьте одну из возможных формул $n$-го члена последовательности по первым пяти её членам:

15.28 a) 1, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{7}$, $\frac{1}{9}$, ...;

б) $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{4}{5}$, $\frac{5}{6}$, ...;

в) 1, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{16}$, $\frac{1}{25}$, ...;

г) $\frac{1}{1 \cdot 2}$, $\frac{1}{2 \cdot 3}$, $\frac{1}{3 \cdot 4}$, $\frac{1}{4 \cdot 5}$, $\frac{1}{5 \cdot 6}$, ...;

а)

Дана последовательность: $1, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{1}{9}, \dots$
Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
$a_1 = 1 = \frac{1}{1}$
$a_2 = \frac{1}{3}$
$a_3 = \frac{1}{5}$
$a_4 = \frac{1}{7}$
$a_5 = \frac{1}{9}$
Видно, что числитель каждого члена равен 1. Знаменатели образуют последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, ...
Формула для n-го нечетного натурального числа имеет вид $2n - 1$.
Проверим:
для $n=1$: $2 \cdot 1 - 1 = 1$.
для $n=2$: $2 \cdot 2 - 1 = 3$.
для $n=3$: $2 \cdot 3 - 1 = 5$.
Следовательно, формула n-го члена последовательности: $a_n = \frac{1}{2n-1}$.
Ответ: $a_n = \frac{1}{2n-1}$

б)

Дана последовательность: $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \dots$
Обозначим n-й член последовательности как $b_n$.
$b_1 = \frac{1}{2}$
$b_2 = \frac{2}{3}$
$b_3 = \frac{3}{4}$
$b_4 = \frac{4}{5}$
$b_5 = \frac{5}{6}$
Замечаем, что числитель n-го члена равен номеру этого члена, то есть $n$.
Знаменатель n-го члена на единицу больше его числителя, то есть $n+1$.
Проверим:
для $n=1$: $\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.
для $n=2$: $\frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$.
Следовательно, формула n-го члена последовательности: $b_n = \frac{n}{n+1}$.
Ответ: $b_n = \frac{n}{n+1}$

в)

Дана последовательность: $1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \frac{1}{25}, \dots$
Обозначим n-й член последовательности как $c_n$.
$c_1 = 1 = \frac{1}{1}$
$c_2 = \frac{1}{4}$
$c_3 = \frac{1}{9}$
$c_4 = \frac{1}{16}$
$c_5 = \frac{1}{25}$
Числитель каждого члена равен 1. Знаменатели образуют последовательность: 1, 4, 9, 16, 25, ...
Это последовательность квадратов натуральных чисел: $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, \dots$
Знаменатель n-го члена равен $n^2$.
Проверим:
для $n=1$: $\frac{1}{1^2} = 1$.
для $n=2$: $\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Следовательно, формула n-го члена последовательности: $c_n = \frac{1}{n^2}$.
Ответ: $c_n = \frac{1}{n^2}$

г)

Дана последовательность: $\frac{1}{1 \cdot 2}, \frac{1}{2 \cdot 3}, \frac{1}{3 \cdot 4}, \frac{1}{4 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 6}, \dots$
Обозначим n-й член последовательности как $d_n$.
$d_1 = \frac{1}{1 \cdot 2}$
$d_2 = \frac{1}{2 \cdot 3}$
$d_3 = \frac{1}{3 \cdot 4}$
$d_4 = \frac{1}{4 \cdot 5}$
$d_5 = \frac{1}{5 \cdot 6}$
Числитель каждого члена равен 1. Знаменатель n-го члена представляет собой произведение двух последовательных натуральных чисел.
Первый множитель в знаменателе n-го члена равен $n$.
Второй множитель в знаменателе n-го члена равен $n+1$.
Таким образом, знаменатель равен $n(n+1)$.
Следовательно, формула n-го члена последовательности: $d_n = \frac{1}{n(n+1)}$.
Ответ: $d_n = \frac{1}{n(n+1)}$