Номер 15.16, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

15.16 a) $1, 3, 5, 7, 9, \dots;$

Б) $3, 6, 9, 12, 15, \dots;$

В) $4, 6, 8, 10, 12, \dots;$

Г) $4, 8, 12, 16, 20, \dots$

а)

Представлена последовательность чисел: 1, 3, 5, 7, 9, ... . Это последовательность нечетных чисел.

Заметим, что каждый следующий член последовательности больше предыдущего на 2. Это означает, что мы имеем дело с арифметической прогрессией.

Первый член прогрессии $a_1 = 1$.

Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2$.

Общая формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим в формулу значения $a_1=1$ и $d=2$:

$a_n = 1 + (n-1) \cdot 2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1$.

Проверим формулу:

• Для $n=1$: $a_1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$. Верно.
• Для $n=2$: $a_2 = 2 \cdot 2 - 1 = 3$. Верно.
• Для $n=3$: $a_3 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$. Верно.

Ответ: Формула n-го члена последовательности: $a_n = 2n - 1$.

б)

Представлена последовательность чисел: 3, 6, 9, 12, 15, ... . Это последовательность чисел, кратных 3.

Каждый следующий член последовательности больше предыдущего на 3. Следовательно, это арифметическая прогрессия.

Первый член прогрессии $a_1 = 3$.

Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 6 - 3 = 3$.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим значения $a_1=3$ и $d=3$:

$a_n = 3 + (n-1) \cdot 3 = 3 + 3n - 3 = 3n$.

Проверим формулу:

• Для $n=1$: $a_1 = 3 \cdot 1 = 3$. Верно.
• Для $n=2$: $a_2 = 3 \cdot 2 = 6$. Верно.
• Для $n=3$: $a_3 = 3 \cdot 3 = 9$. Верно.

Ответ: Формула n-го члена последовательности: $a_n = 3n$.

в)

Представлена последовательность чисел: 4, 6, 8, 10, 12, ... . Это последовательность четных чисел, начиная с 4.

Каждый следующий член последовательности больше предыдущего на 2. Это также арифметическая прогрессия.

Первый член прогрессии $a_1 = 4$.

Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 6 - 4 = 2$.

Применим формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим значения $a_1=4$ и $d=2$:

$a_n = 4 + (n-1) \cdot 2 = 4 + 2n - 2 = 2n + 2$.

Проверим формулу:

• Для $n=1$: $a_1 = 2 \cdot 1 + 2 = 4$. Верно.
• Для $n=2$: $a_2 = 2 \cdot 2 + 2 = 6$. Верно.
• Для $n=3$: $a_3 = 2 \cdot 3 + 2 = 8$. Верно.

Ответ: Формула n-го члена последовательности: $a_n = 2n + 2$.

г)

Представлена последовательность чисел: 4, 8, 12, 16, 20, ... . Это последовательность чисел, кратных 4.

Каждый следующий член последовательности больше предыдущего на 4. Это арифметическая прогрессия.

Первый член прогрессии $a_1 = 4$.

Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 8 - 4 = 4$.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим значения $a_1=4$ и $d=4$:

$a_n = 4 + (n-1) \cdot 4 = 4 + 4n - 4 = 4n$.

Проверим формулу:

• Для $n=1$: $a_1 = 4 \cdot 1 = 4$. Верно.
• Для $n=2$: $a_2 = 4 \cdot 2 = 8$. Верно.
• Для $n=3$: $a_3 = 4 \cdot 3 = 12$. Верно.

Ответ: Формула n-го члена последовательности: $a_n = 4n$.