Номер 15.15, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Составьте одну из возможных формул $n$-го члена последовательности по первым пяти её членам:

1, 2, 3, 4, 5, ...;

б) -2, -1, 0, 1, 2, ...;

в) 6, 7, 8, 9, 10, ...;

г) -1, -2, -3, -4, -5, ....

а) 1, 2, 3, 4, 5, ...

Обозначим n-й член последовательности как $a_n$. В данной последовательности каждый член равен своему порядковому номеру $n$.

Для $n=1$, $a_1 = 1$.

Для $n=2$, $a_2 = 2$.

Для $n=3$, $a_3 = 3$, и так далее.

Данная последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = 1$ и разностью $d = 1$. Формула n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ в данном случае принимает вид: $a_n = 1 + (n-1) \cdot 1 = 1 + n - 1 = n$.

Следовательно, одна из возможных формул n-го члена этой последовательности: $a_n = n$.

Ответ: $a_n = n$.

б) –2, –1, 0, 1, 2, ...

Обозначим n-й член последовательности как $b_n$. Заметим, что каждый следующий член на 1 больше предыдущего. Это арифметическая прогрессия.

Первый член последовательности $b_1 = -2$.

Найдем разность прогрессии: $d = b_2 - b_1 = -1 - (-2) = 1$.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $b_n = b_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения: $b_n = -2 + (n-1) \cdot 1 = -2 + n - 1 = n - 3$.

Проверим для $n=5$: $b_5 = 5 - 3 = 2$, что соответствует условию.

Ответ: $b_n = n - 3$.

в) 6, 7, 8, 9, 10, ...

Обозначим n-й член последовательности как $c_n$. Эта последовательность также является арифметической прогрессией, так как разность между соседними членами постоянна.

Первый член последовательности $c_1 = 6$.

Разность прогрессии $d = c_2 - c_1 = 7 - 6 = 1$.

Применим формулу n-го члена арифметической прогрессии: $c_n = c_1 + (n-1)d$.

Подставим наши значения: $c_n = 6 + (n-1) \cdot 1 = 6 + n - 1 = n + 5$.

Проверим для $n=5$: $c_5 = 5 + 5 = 10$, что соответствует условию.

Ответ: $c_n = n + 5$.

г) –1, –2, –3, –4, –5, ...

Обозначим n-й член последовательности как $d_n$. Можно заметить, что члены этой последовательности — это натуральные числа, взятые с противоположным знаком.

Для $n=1$, $d_1 = -1$.

Для $n=2$, $d_2 = -2$.

Для $n=3$, $d_3 = -3$, и так далее.

Отсюда следует, что формула n-го члена: $d_n = -n$.

Также можно решить задачу, рассмотрев последовательность как арифметическую прогрессию. Первый член $d_1 = -1$, а разность $d = d_2 - d_1 = -2 - (-1) = -1$.

По формуле n-го члена: $d_n = d_1 + (n-1)d = -1 + (n-1) \cdot (-1) = -1 - n + 1 = -n$.

Ответ: $d_n = -n$.