Номер 9, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

9 Даны функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$, где $f(x) = x^4$, $g(x) = x^{-1}$. Докажите, что при $x < 0$ выполняется равенство

$\sqrt{4\sqrt{f(x)} + 2(g(x))^{-1}} = 0.$

Для доказательства или опровержения данного утверждения преобразуем левую часть равенства, используя определения функций $f(x) = x^4$, $g(x) = x^{-1}$ и условие $x < 0$.

Исходное равенство: $ \sqrt{\sqrt[4]{f(x)} + 2(g(x))^{-1}} = 0 $.

1. Подставим выражения для $f(x)$ и $g(x)$ в левую часть равенства:

$ \sqrt{\sqrt[4]{x^4} + 2(x^{-1})^{-1}} $

2. Упростим по отдельности члены под внешним корнем.

Первый член: $ \sqrt[4]{x^4} $. По свойству корня четной степени, $ \sqrt[n]{a^n} = |a| $ для любого четного $n$. Поскольку 4 — четное число, получаем:

$ \sqrt[4]{x^4} = |x| $

Второй член: $ 2(x^{-1})^{-1} $. Согласно свойству степеней $ (a^m)^n = a^{mn} $, имеем:

$ 2(x^{-1})^{-1} = 2x^{(-1) \cdot (-1)} = 2x^1 = 2x $

3. Подставим упрощенные члены обратно в выражение:

$ \sqrt{|x| + 2x} $

4. Теперь используем заданное в условии ограничение $ x < 0 $. По определению модуля, для любого отрицательного числа $x$ выполняется равенство $ |x| = -x $. Заменим $|x|$ в нашем выражении:

$ \sqrt{-x + 2x} $

5. Выполним сложение под корнем:

$ \sqrt{x} $

Таким образом, исходное утверждение, которое требуется доказать для $x < 0$, эквивалентно равенству $ \sqrt{x} = 0 $.

Однако, в области действительных чисел функция квадратного корня $ y=\sqrt{x} $ определена только для неотрицательных значений аргумента, то есть при $ x \ge 0 $. Условие задачи $ x < 0 $ противоречит области определения выражения $ \sqrt{x} $. Следовательно, левая часть исходного равенства не определена в действительных числах для $ x < 0 $.

Из этого следует, что доказываемое равенство не выполняется. Вероятнее всего, в условии задачи имеется опечатка.

Ответ: Утверждение неверно. При подстановке и упрощении левой части равенства для $ x < 0 $ получается выражение $ \sqrt{x} $, которое не определено в области действительных чисел, так как $x$ является отрицательным числом.