Номер 8, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8 Решите графически:

а) уравнение $x^5 = \sqrt[3]{x}$;

б) неравенство $\sqrt[3]{x+2} \le 1$.

а) уравнение $x^5 = \sqrt[3]{x}$

Для графического решения данного уравнения необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = x^5$ и $y = \sqrt[3]{x}$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. Построение графика функции $y = x^5$ (степенная функция).
Это нечетная функция, ее график симметричен относительно начала координат. График проходит через точки:

• $(-1, (-1)^5) = (-1, -1)$
• $(0, 0^5) = (0, 0)$
• $(1, 1^5) = (1, 1)$

При $x > 1$ функция возрастает очень быстро, а в интервале $(0, 1)$ ее значения близки к нулю.

2. Построение графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ (кубический корень).
Это также нечетная функция, ее график симметричен относительно начала координат. График проходит через точки:

• $(-1, \sqrt[3]{-1}) = (-1, -1)$
• $(0, \sqrt[3]{0}) = (0, 0)$
• $(1, \sqrt[3]{1}) = (1, 1)$
• $(8, \sqrt[3]{8}) = (8, 2)$
• $(-8, \sqrt[3]{-8}) = (-8, -2)$

График этой функции "прижат" к оси Ох сильнее, чем график $y=x^5$ для $|x|>1$, и расположен выше него для $0 < x < 1$ и $x < -1$.

3. Нахождение точек пересечения.
Совместив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что они пересекаются в трех точках. Мы уже определили их координаты при построении: $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Абсциссы этих точек и являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $x = -1, x = 0, x = 1$.

б) неравенство $\sqrt[3]{x+2} \le 1$

Для графического решения неравенства построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt[3]{x+2}$ и $y = 1$. Решением неравенства будет множество значений $x$, для которых график функции $y = \sqrt[3]{x+2}$ находится на одном уровне или ниже графика функции $y=1$.

1. Построение графика функции $y = \sqrt[3]{x+2}$.
Этот график получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Ключевые точки графика:

• Точка пересечения с осью Ox: $y=0 \implies \sqrt[3]{x+2}=0 \implies x=-2$. Точка $(-2, 0)$.
• Точка пересечения с осью Oy: $x=0 \implies y=\sqrt[3]{0+2}=\sqrt[3]{2} \approx 1.26$. Точка $(0, \sqrt[3]{2})$.

2. Построение графика функции $y = 1$.
Это прямая линия, параллельная оси Ox, проходящая через точку $(0, 1)$ на оси Oy.

3. Нахождение точки пересечения и решение неравенства.
Найдем абсциссу точки пересечения графиков, решив уравнение $\sqrt[3]{x+2} = 1$.
Возведем обе части уравнения в третью степень:
$(\sqrt[3]{x+2})^3 = 1^3$
$x+2 = 1$
$x = 1 - 2$
$x = -1$
Точка пересечения имеет координаты $(-1, 1)$.

Теперь посмотрим на графики. Функция $y = \sqrt[3]{x+2}$ является возрастающей. Это означает, что для всех $x$, которые меньше абсциссы точки пересечения (то есть $x < -1$), значения функции будут меньше 1. Для $x = -1$ значение функции равно 1. Следовательно, неравенство $\sqrt[3]{x+2} \le 1$ выполняется для всех $x \le -1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1]$.