Номер 10, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10 Дана функция $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} (x + 4)^2 + 2, & \text{если } x < -3; \\ |x|, & \text{если } x \ge -3. \end{cases}$

а) Постройте график функции $y = f(x)$;

б) укажите число корней уравнения $f(x) = p$, где $p$ — любое действительное число.

а) Построим график функции $y = f(x)$. Функция является кусочно-заданной, поэтому рассмотрим ее на двух промежутках.

1. На промежутке $x < -3$ функция задана формулой $y = (x + 4)^2 + 2$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Координаты вершины параболы находятся из вида $y=a(x-x_0)^2+y_0$. В нашем случае вершина находится в точке $(-4; 2)$. Поскольку эта часть графика определена для $x < -3$, найдем, к какой точке стремится график при $x \to -3$ слева. Вычислим значение в точке $x = -3$: $y = (-3 + 4)^2 + 2 = 1^2 + 2 = 3$. Таким образом, на промежутке $(-\infty; -3)$ график представляет собой часть параболы с вершиной в $(-4; 2)$, проходящую, например, через точку $(-5; 3)$ и заканчивающуюся в точке $(-3; 3)$, которая не включается в эту часть графика (так называемая "выколотая" точка).

2. На промежутке $x \ge -3$ функция задана формулой $y = |x|$. График этой функции — это "уголок" с вершиной в точке $(0; 0)$. Найдём значение функции на границе промежутка, в точке $x = -3$: $y = |-3| = 3$. Точка $(-3; 3)$ принадлежит этой части графика. Таким образом, для $x \ge -3$ график состоит из отрезка прямой $y=-x$, соединяющего точки $(-3; 3)$ и $(0; 0)$, и луча $y=x$, выходящего из точки $(0; 0)$ вправо-вверх.

3. Совместим обе части на одной координатной плоскости. Так как предел функции слева в точке $x=-3$ равен $3$ и значение функции в самой точке $x=-3$ также равно $3$, функция $y = f(x)$ является непрерывной. График функции состоит из части параболы с вершиной в $(-4, 2)$ для $x < -3$ и графика модуля для $x \ge -3$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ построен. Он состоит из части параболы $y=(x+4)^2+2$ с вершиной в точке $(-4,2)$ на интервале $(-\infty; -3)$ и графика функции $y=|x|$ на луче $[-3; +\infty)$.

б) Число корней уравнения $f(x) = p$ соответствует числу точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с горизонтальной прямой $y = p$. Проанализируем это количество, перемещая прямую $y=p$ снизу вверх по координатной плоскости.

- При $p < 0$ прямая $y=p$ находится ниже оси абсцисс. Так как значения функции $f(x)$ всегда неотрицательны ($ (x+4)^2+2 > 0 $ и $|x| \ge 0$), пересечений с графиком нет. Уравнение не имеет корней.
- При $p = 0$ прямая $y=p$ касается графика в одной точке — $(0; 0)$. Уравнение имеет один корень.
- При $0 < p < 2$ прямая $y=p$ пересекает график модуля $y=|x|$ в двух точках (с абсциссами $-p$ и $p$), но не пересекает параболу, минимальное значение которой равно 2. Уравнение имеет два корня.
- При $p = 2$ прямая $y=p$ касается параболы в ее вершине $(-4; 2)$ и пересекает график модуля в двух точках $(-2; 2)$ и $(2; 2)$. Уравнение имеет три корня.
- При $2 < p < 3$ прямая $y=p$ пересекает параболу в двух точках и график модуля в двух точках. Всего четыре точки пересечения. Уравнение имеет четыре корня.
- При $p = 3$ прямая $y=p$ проходит через точку "стыка" $(-3; 3)$, а также пересекает параболу в точке $(-5; 3)$ и график модуля в точке $(3; 3)$. Всего три точки пересечения. Уравнение имеет три корня.
- При $p > 3$ прямая $y=p$ пересекает левую ветвь параболы в одной точке (с абсциссой $x = -4 - \sqrt{p-2}$) и правую ветвь графика модуля (с абсциссой $x=p$). Всего две точки пересечения. Уравнение имеет два корня.

Ответ: Число корней уравнения $f(x) = p$ в зависимости от параметра $p$ равно:
0, если $p < 0$;
1, если $p = 0$;
2, если $0 < p < 2$ или $p > 3$;
3, если $p = 2$ или $p = 3$;
4, если $2 < p < 3$.