Страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

5 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} h(x), \text{ если } x < 0; \\ (x-1)^2 - 1, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

Задайте $h(x)$, если известно, что $y = f(x)$ является нечётной функцией.

По определению, функция $y = f(x)$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Область определения данной функции $f(x)$ — это объединение интервалов $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, которая симметрична относительно начала координат.

Нам необходимо найти формулу для $h(x)$, которая определяет функцию $f(x)$ при $x < 0$.

Рассмотрим произвольное значение $x$ из интервала $x < 0$. Для такого $x$ справедливо $f(x) = h(x)$.

Поскольку $x < 0$, то $-x > 0$. Для положительных значений аргумента функция $f(x)$ задается выражением $(x-1)^2 - 1$. Следовательно, для значения $-x$ мы можем записать:

$f(-x) = ((-x) - 1)^2 - 1$

Теперь воспользуемся свойством нечётной функции $f(-x) = -f(x)$. Подставим в него полученные выражения для $f(x)$ и $f(-x)$:

$((-x) - 1)^2 - 1 = -h(x)$

Из этого уравнения выразим $h(x)$:

$h(x) = - \left( ((-x) - 1)^2 - 1 \right)$

Упростим полученное выражение:

$h(x) = - \left( (-(x + 1))^2 - 1 \right)$

$h(x) = - \left( (x + 1)^2 - 1 \right)$

Раскроем скобки, чтобы получить окончательный вид:

$h(x) = - (x^2 + 2x + 1 - 1)$

$h(x) = - (x^2 + 2x)$

$h(x) = -x^2 - 2x$

Таким образом, для того чтобы исходная функция $f(x)$ была нечётной, функция $h(x)$ должна быть задана формулой $h(x) = -x^2 - 2x$.

Ответ: $h(x) = -x^2 - 2x$

6 Определите число корней уравнения $x^{-3} = 2 - 3x$.

Для определения числа корней уравнения $x^{-3} = 2 - 3x$ рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $y_1 = x^{-3}$ и $y_2 = 2 - 3x$. Число корней уравнения равно числу точек пересечения графиков этих функций.

Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как функция $y_1 = x^{-3}$ не определена в этой точке.

Способ 1: Графический и функциональный анализ

Разобьем задачу на два случая: $x > 0$ и $x < 0$.

1. Случай $x > 0$

В этой области функция $y_1 = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ является положительной и убывающей. Ее график находится в первой координатной четверти.

Функция $y_2 = 2 - 3x$ — это прямая, которая также убывает. Она пересекает ось ординат в точке $(0, 2)$ и ось абсцисс в точке $(\frac{2}{3}, 0)$. Для $x > \frac{2}{3}$ значения этой функции отрицательны, в то время как значения функции $y_1 = x^{-3}$ всегда положительны при $x>0$. Следовательно, на интервале $(\frac{2}{3}, +\infty)$ пересечений нет.

Чтобы определить, пересекаются ли графики, исследуем разность функций $f(x) = x^{-3} - (2-3x) = \frac{1}{x^3} + 3x - 2$. Нам нужно найти количество нулей функции $f(x)$ при $x > 0$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{1}{x^3} + 3x - 2)' = -3x^{-4} + 3 = 3 - \frac{3}{x^4} = 3(1 - \frac{1}{x^4})$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3(1 - \frac{1}{x^4}) = 0$, откуда $x^4 = 1$. Так как мы рассматриваем $x > 0$, единственная критическая точка — это $x=1$.

Определим знаки производной: при $0 < x < 1$ имеем $x^4 < 1$, поэтому $\frac{1}{x^4} > 1$, и $f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ убывает; при $x > 1$ имеем $x^4 > 1$, поэтому $\frac{1}{x^4} < 1$, и $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.

Следовательно, в точке $x=1$ функция $f(x)$ достигает своего локального (и глобального для $x>0$) минимума. Найдем значение этого минимума:

$f(1) = \frac{1}{1^3} + 3(1) - 2 = 1 + 3 - 2 = 2$.

Минимальное значение функции $f(x)$ при $x>0$ равно 2. Так как $f_{min}(x) = 2 > 0$, функция $f(x)$ всегда положительна при $x>0$. Это означает, что $x^{-3} > 2 - 3x$ для всех $x>0$, и графики функций не пересекаются. Таким образом, положительных корней у уравнения нет.

2. Случай $x < 0$

В этой области функция $y_1 = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ принимает отрицательные значения (график находится в третьей координатной четверти).

Рассмотрим функцию $y_2 = 2 - 3x$. Поскольку $x < 0$, то $-3x > 0$, и следовательно $y_2 = 2 - 3x > 2$. То есть, для всех $x < 0$ значения этой функции строго больше 2.

Мы имеем, что при $x < 0$ левая часть уравнения $x^{-3}$ всегда отрицательна, а правая часть $2 - 3x$ всегда положительна. Равенство между ними невозможно.

Следовательно, отрицательных корней у уравнения также нет.

Вывод по первому способу: Уравнение не имеет ни положительных, ни отрицательных корней. Так как $x=0$ не входит в область определения, то уравнение не имеет действительных корней.

Способ 2: Алгебраический анализ

Преобразуем исходное уравнение $x^{-3} = 2 - 3x$.

$\frac{1}{x^3} = 2 - 3x$

Поскольку $x \neq 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $x^3$:

$1 = (2 - 3x)x^3$

$1 = 2x^3 - 3x^4$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить полиномиальное уравнение:

$3x^4 - 2x^3 + 1 = 0$

Рассмотрим функцию $p(x) = 3x^4 - 2x^3 + 1$. Число корней исходного уравнения (за исключением $x=0$, который мы уже исключили) совпадает с числом корней этого полиномиального уравнения. Найдем наименьшее значение этой функции с помощью производной.

Найдем производную функции $p(x)$:

$p'(x) = (3x^4 - 2x^3 + 1)' = 12x^3 - 6x^2 = 6x^2(2x - 1)$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $6x^2(2x - 1) = 0$, откуда $x = 0$ или $x = \frac{1}{2}$.

Исследуем знак производной, чтобы определить интервалы монотонности: если $x < \frac{1}{2}$ (и $x \neq 0$), то $2x-1 < 0$ и $6x^2 > 0$, значит $p'(x) < 0$ и функция $p(x)$ убывает на $(-\infty, \frac{1}{2}]$; если $x > \frac{1}{2}$, то $2x-1 > 0$ и $6x^2 > 0$, значит $p'(x) > 0$ и функция $p(x)$ возрастает на $[\frac{1}{2}, +\infty)$.

Это означает, что в точке $x = \frac{1}{2}$ функция $p(x)$ достигает своего глобального минимума.

Вычислим значение функции в этой точке:

$p(\frac{1}{2}) = 3(\frac{1}{2})^4 - 2(\frac{1}{2})^3 + 1 = 3(\frac{1}{16}) - 2(\frac{1}{8}) + 1 = \frac{3}{16} - \frac{2}{8} + 1 = \frac{3}{16} - \frac{4}{16} + \frac{16}{16} = \frac{15}{16}$.

Глобальный минимум функции $p(x)$ равен $\frac{15}{16}$. Поскольку минимальное значение функции положительно ($p_{min}(x) = \frac{15}{16} > 0$), функция $p(x)$ принимает только положительные значения и никогда не обращается в ноль.

Следовательно, уравнение $3x^4 - 2x^3 + 1 = 0$ не имеет действительных корней.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: Уравнение не имеет корней, число корней равно 0.

7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = (1 - x)^3 + 3$ на отрезке $[2; 3]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции на отрезке, необходимо найти значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на его концах, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

1. Нахождение производной функции.

Дана функция $y = (1 - x)^3 + 3$. Найдем ее производную, используя правило дифференцирования сложной функции:

$y' = ((1 - x)^3 + 3)' = 3(1 - x)^{3-1} \cdot (1 - x)' + 0 = 3(1 - x)^2 \cdot (-1) = -3(1 - x)^2$.

2. Нахождение критических точек.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$y' = 0 \implies -3(1 - x)^2 = 0$

$(1 - x)^2 = 0$

$1 - x = 0$

$x = 1$

Производная существует при всех значениях $x$, поэтому единственная критическая точка — это $x = 1$.

3. Проверка принадлежности критических точек отрезку.

Заданный отрезок — $[2; 3]$. Критическая точка $x=1$ не принадлежит этому отрезку, так как $1 < 2$.

4. Вычисление значений функции на концах отрезка.

Поскольку на отрезке $[2; 3]$ нет критических точек, наименьшее и наибольшее значения функция принимает на его концах. Вычислим значения функции в точках $x = 2$ и $x = 3$.

При $x = 2$:

$y(2) = (1 - 2)^3 + 3 = (-1)^3 + 3 = -1 + 3 = 2$.

При $x = 3$:

$y(3) = (1 - 3)^3 + 3 = (-2)^3 + 3 = -8 + 3 = -5$.

5. Выбор наименьшего и наибольшего значений.

Сравниваем полученные значения: $y(2)=2$ и $y(3)=-5$.

Наибольшее значение функции на отрезке $[2; 3]$ равно 2.

Наименьшее значение функции на отрезке $[2; 3]$ равно -5.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{наим} = -5$, наибольшее значение функции $y_{наиб} = 2$.

8 Решите графически:

а) уравнение $x^5 = \sqrt[3]{x}$;

б) неравенство $\sqrt[3]{x+2} \le 1$.

а) уравнение $x^5 = \sqrt[3]{x}$

Для графического решения данного уравнения необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = x^5$ и $y = \sqrt[3]{x}$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. Построение графика функции $y = x^5$ (степенная функция).
Это нечетная функция, ее график симметричен относительно начала координат. График проходит через точки:

• $(-1, (-1)^5) = (-1, -1)$
• $(0, 0^5) = (0, 0)$
• $(1, 1^5) = (1, 1)$

При $x > 1$ функция возрастает очень быстро, а в интервале $(0, 1)$ ее значения близки к нулю.

2. Построение графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ (кубический корень).
Это также нечетная функция, ее график симметричен относительно начала координат. График проходит через точки:

• $(-1, \sqrt[3]{-1}) = (-1, -1)$
• $(0, \sqrt[3]{0}) = (0, 0)$
• $(1, \sqrt[3]{1}) = (1, 1)$
• $(8, \sqrt[3]{8}) = (8, 2)$
• $(-8, \sqrt[3]{-8}) = (-8, -2)$

График этой функции "прижат" к оси Ох сильнее, чем график $y=x^5$ для $|x|>1$, и расположен выше него для $0 < x < 1$ и $x < -1$.

3. Нахождение точек пересечения.
Совместив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что они пересекаются в трех точках. Мы уже определили их координаты при построении: $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Абсциссы этих точек и являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $x = -1, x = 0, x = 1$.

б) неравенство $\sqrt[3]{x+2} \le 1$

Для графического решения неравенства построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt[3]{x+2}$ и $y = 1$. Решением неравенства будет множество значений $x$, для которых график функции $y = \sqrt[3]{x+2}$ находится на одном уровне или ниже графика функции $y=1$.

1. Построение графика функции $y = \sqrt[3]{x+2}$.
Этот график получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Ключевые точки графика:

• Точка пересечения с осью Ox: $y=0 \implies \sqrt[3]{x+2}=0 \implies x=-2$. Точка $(-2, 0)$.
• Точка пересечения с осью Oy: $x=0 \implies y=\sqrt[3]{0+2}=\sqrt[3]{2} \approx 1.26$. Точка $(0, \sqrt[3]{2})$.

2. Построение графика функции $y = 1$.
Это прямая линия, параллельная оси Ox, проходящая через точку $(0, 1)$ на оси Oy.

3. Нахождение точки пересечения и решение неравенства.
Найдем абсциссу точки пересечения графиков, решив уравнение $\sqrt[3]{x+2} = 1$.
Возведем обе части уравнения в третью степень:
$(\sqrt[3]{x+2})^3 = 1^3$
$x+2 = 1$
$x = 1 - 2$
$x = -1$
Точка пересечения имеет координаты $(-1, 1)$.

Теперь посмотрим на графики. Функция $y = \sqrt[3]{x+2}$ является возрастающей. Это означает, что для всех $x$, которые меньше абсциссы точки пересечения (то есть $x < -1$), значения функции будут меньше 1. Для $x = -1$ значение функции равно 1. Следовательно, неравенство $\sqrt[3]{x+2} \le 1$ выполняется для всех $x \le -1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1]$.

9 Даны функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$, где $f(x) = x^4$, $g(x) = x^{-1}$. Докажите, что при $x < 0$ выполняется равенство

$\sqrt{4\sqrt{f(x)} + 2(g(x))^{-1}} = 0.$

Для доказательства или опровержения данного утверждения преобразуем левую часть равенства, используя определения функций $f(x) = x^4$, $g(x) = x^{-1}$ и условие $x < 0$.

Исходное равенство: $ \sqrt{\sqrt[4]{f(x)} + 2(g(x))^{-1}} = 0 $.

1. Подставим выражения для $f(x)$ и $g(x)$ в левую часть равенства:

$ \sqrt{\sqrt[4]{x^4} + 2(x^{-1})^{-1}} $

2. Упростим по отдельности члены под внешним корнем.

Первый член: $ \sqrt[4]{x^4} $. По свойству корня четной степени, $ \sqrt[n]{a^n} = |a| $ для любого четного $n$. Поскольку 4 — четное число, получаем:

$ \sqrt[4]{x^4} = |x| $

Второй член: $ 2(x^{-1})^{-1} $. Согласно свойству степеней $ (a^m)^n = a^{mn} $, имеем:

$ 2(x^{-1})^{-1} = 2x^{(-1) \cdot (-1)} = 2x^1 = 2x $

3. Подставим упрощенные члены обратно в выражение:

$ \sqrt{|x| + 2x} $

4. Теперь используем заданное в условии ограничение $ x < 0 $. По определению модуля, для любого отрицательного числа $x$ выполняется равенство $ |x| = -x $. Заменим $|x|$ в нашем выражении:

$ \sqrt{-x + 2x} $

5. Выполним сложение под корнем:

$ \sqrt{x} $

Таким образом, исходное утверждение, которое требуется доказать для $x < 0$, эквивалентно равенству $ \sqrt{x} = 0 $.

Однако, в области действительных чисел функция квадратного корня $ y=\sqrt{x} $ определена только для неотрицательных значений аргумента, то есть при $ x \ge 0 $. Условие задачи $ x < 0 $ противоречит области определения выражения $ \sqrt{x} $. Следовательно, левая часть исходного равенства не определена в действительных числах для $ x < 0 $.

Из этого следует, что доказываемое равенство не выполняется. Вероятнее всего, в условии задачи имеется опечатка.

Ответ: Утверждение неверно. При подстановке и упрощении левой части равенства для $ x < 0 $ получается выражение $ \sqrt{x} $, которое не определено в области действительных чисел, так как $x$ является отрицательным числом.

10 Дана функция $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} (x + 4)^2 + 2, & \text{если } x < -3; \\ |x|, & \text{если } x \ge -3. \end{cases}$

а) Постройте график функции $y = f(x)$;

б) укажите число корней уравнения $f(x) = p$, где $p$ — любое действительное число.

а) Построим график функции $y = f(x)$. Функция является кусочно-заданной, поэтому рассмотрим ее на двух промежутках.

1. На промежутке $x < -3$ функция задана формулой $y = (x + 4)^2 + 2$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Координаты вершины параболы находятся из вида $y=a(x-x_0)^2+y_0$. В нашем случае вершина находится в точке $(-4; 2)$. Поскольку эта часть графика определена для $x < -3$, найдем, к какой точке стремится график при $x \to -3$ слева. Вычислим значение в точке $x = -3$: $y = (-3 + 4)^2 + 2 = 1^2 + 2 = 3$. Таким образом, на промежутке $(-\infty; -3)$ график представляет собой часть параболы с вершиной в $(-4; 2)$, проходящую, например, через точку $(-5; 3)$ и заканчивающуюся в точке $(-3; 3)$, которая не включается в эту часть графика (так называемая "выколотая" точка).

2. На промежутке $x \ge -3$ функция задана формулой $y = |x|$. График этой функции — это "уголок" с вершиной в точке $(0; 0)$. Найдём значение функции на границе промежутка, в точке $x = -3$: $y = |-3| = 3$. Точка $(-3; 3)$ принадлежит этой части графика. Таким образом, для $x \ge -3$ график состоит из отрезка прямой $y=-x$, соединяющего точки $(-3; 3)$ и $(0; 0)$, и луча $y=x$, выходящего из точки $(0; 0)$ вправо-вверх.

3. Совместим обе части на одной координатной плоскости. Так как предел функции слева в точке $x=-3$ равен $3$ и значение функции в самой точке $x=-3$ также равно $3$, функция $y = f(x)$ является непрерывной. График функции состоит из части параболы с вершиной в $(-4, 2)$ для $x < -3$ и графика модуля для $x \ge -3$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ построен. Он состоит из части параболы $y=(x+4)^2+2$ с вершиной в точке $(-4,2)$ на интервале $(-\infty; -3)$ и графика функции $y=|x|$ на луче $[-3; +\infty)$.

б) Число корней уравнения $f(x) = p$ соответствует числу точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с горизонтальной прямой $y = p$. Проанализируем это количество, перемещая прямую $y=p$ снизу вверх по координатной плоскости.

- При $p < 0$ прямая $y=p$ находится ниже оси абсцисс. Так как значения функции $f(x)$ всегда неотрицательны ($ (x+4)^2+2 > 0 $ и $|x| \ge 0$), пересечений с графиком нет. Уравнение не имеет корней.
- При $p = 0$ прямая $y=p$ касается графика в одной точке — $(0; 0)$. Уравнение имеет один корень.
- При $0 < p < 2$ прямая $y=p$ пересекает график модуля $y=|x|$ в двух точках (с абсциссами $-p$ и $p$), но не пересекает параболу, минимальное значение которой равно 2. Уравнение имеет два корня.
- При $p = 2$ прямая $y=p$ касается параболы в ее вершине $(-4; 2)$ и пересекает график модуля в двух точках $(-2; 2)$ и $(2; 2)$. Уравнение имеет три корня.
- При $2 < p < 3$ прямая $y=p$ пересекает параболу в двух точках и график модуля в двух точках. Всего четыре точки пересечения. Уравнение имеет четыре корня.
- При $p = 3$ прямая $y=p$ проходит через точку "стыка" $(-3; 3)$, а также пересекает параболу в точке $(-5; 3)$ и график модуля в точке $(3; 3)$. Всего три точки пересечения. Уравнение имеет три корня.
- При $p > 3$ прямая $y=p$ пересекает левую ветвь параболы в одной точке (с абсциссой $x = -4 - \sqrt{p-2}$) и правую ветвь графика модуля (с абсциссой $x=p$). Всего две точки пересечения. Уравнение имеет два корня.

Ответ: Число корней уравнения $f(x) = p$ в зависимости от параметра $p$ равно:
0, если $p < 0$;
1, если $p = 0$;
2, если $0 < p < 2$ или $p > 3$;
3, если $p = 2$ или $p = 3$;
4, если $2 < p < 3$.