Страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

6 Определите число корней уравнения $x^{-2} = 4x + 3.$

Чтобы определить число корней уравнения $x^{-2} = 4x + 3$, преобразуем его и проанализируем.

Исходное уравнение можно переписать, используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $$\frac{1}{x^2} = 4x + 3$$ Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения — все действительные числа, кроме $x=0$, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Умножим обе части уравнения на $x^2$ (это равносильное преобразование в рамках ОДЗ): $$1 = x^2(4x + 3)$$ $$1 = 4x^3 + 3x^2$$ Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид многочлена: $$4x^3 + 3x^2 - 1 = 0$$ Задача свелась к нахождению количества действительных корней этого кубического уравнения.

Для исследования количества корней функции $f(x) = 4x^3 + 3x^2 - 1$ найдем ее производную и точки экстремума. $$f'(x) = (4x^3 + 3x^2 - 1)' = 12x^2 + 6x$$ Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $$12x^2 + 6x = 0$$ $$6x(2x + 1) = 0$$ Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$.

Теперь найдем значения функции $f(x)$ в этих точках, чтобы определить локальные экстремумы.

В точке $x = -\frac{1}{2}$ имеем локальный максимум: $f(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{2})^3 + 3(-\frac{1}{2})^2 - 1 = 4(-\frac{1}{8}) + 3(\frac{1}{4}) - 1 = -\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - 1 = -\frac{2}{4} + \frac{3}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{3}{4}$.

В точке $x = 0$ имеем локальный минимум: $f(0) = 4(0)^3 + 3(0)^2 - 1 = -1$.

Мы установили, что локальный максимум функции равен $-\frac{3}{4}$, а локальный минимум равен $-1$. Оба значения отрицательны.

Рассмотрим поведение функции на бесконечности:
При $x \to +\infty$, $f(x) = 4x^3 + 3x^2 - 1 \to +\infty$.
При $x \to -\infty$, $f(x) = 4x^3 + 3x^2 - 1 \to -\infty$.

Сведем все данные воедино. На интервале $(-\infty, 0]$, функция $f(x)$ возрастает от $-\infty$ до локального максимума $-\frac{3}{4}$ (в точке $x = -\frac{1}{2}$), а затем убывает до локального минимума $-1$ (в точке $x=0$). Поскольку максимальное значение на этом участке отрицательно, функция не пересекает ось Ox, и корней здесь нет.

На интервале $(0, +\infty)$ функция $f(x)$ возрастает от значения $f(0) = -1$ до $+\infty$. Так как функция непрерывна и меняет знак с минуса на плюс, она обязана пересечь ось Ox ровно один раз. Этот корень не равен нулю, поэтому он удовлетворяет ОДЗ исходного уравнения.

Таким образом, уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: 1.

7 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y=(x+2)^4-2$ на отрезке $[-1, 4]$.

Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = (x + 2)^4 - 2$ на заданном отрезке $[-1, 4]$, следует использовать стандартный алгоритм исследования функции на отрезке.

1. Нахождение производной функции

Найдём производную функции $y(x)$ по переменной $x$. Это сложная функция, поэтому воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

$y' = ((x + 2)^4 - 2)' = 4(x+2)^{4-1} \cdot (x+2)' - (2)' = 4(x+2)^3 \cdot 1 - 0 = 4(x+2)^3$.

Итак, производная функции: $y' = 4(x+2)^3$.

2. Нахождение критических точек

Критические точки – это точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует. В нашем случае производная $y' = 4(x+2)^3$ определена на всей числовой оси.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$4(x+2)^3 = 0$

$(x+2)^3 = 0$

$x+2 = 0$

$x = -2$

3. Проверка принадлежности критических точек отрезку

Мы нашли одну критическую точку $x = -2$. Проверим, принадлежит ли она отрезку $[-1, 4]$.

Так как $-2 < -1$, точка $x = -2$ не входит в данный отрезок.

4. Вычисление значений функции на концах отрезка

Поскольку на отрезке $[-1, 4]$ нет критических точек, наименьшее и наибольшее значения функция принимает на концах этого отрезка. Вычислим значения функции в точках $x=-1$ и $x=4$.

Значение функции на левом конце отрезка, при $x = -1$:

$y(-1) = (-1 + 2)^4 - 2 = 1^4 - 2 = 1 - 2 = -1$.

Значение функции на правом конце отрезка, при $x = 4$:

$y(4) = (4 + 2)^4 - 2 = 6^4 - 2 = 1296 - 2 = 1294$.

5. Выбор наименьшего и наибольшего значений

Сравним полученные значения функции: $-1$ и $1294$.

Наименьшее значение функции на отрезке $[-1, 4]$ равно $-1$.

Наибольшее значение функции на отрезке $[-1, 4]$ равно $1294$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = -1$, наибольшее значение функции $y_{max} = 1294$.

8. Решите графически:

а) уравнение $x^{-5} = \sqrt[3]{x}$;

б) неравенство $\sqrt[3]{x+2} > 1$.

а) уравнение $x^{-5} = \sqrt[3]{x}$

Для графического решения данного уравнения построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^{-5}$ и $y = \sqrt[3]{x}$. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут являться решениями уравнения.

1. Исследуем функцию $y = x^{-5}$ или $y = \frac{1}{x^5}$.

- Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$. То есть, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

- Функция является нечетной, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^5} = -\frac{1}{x^5} = -y(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат.

- График функции имеет две ветви. В первой четверти ($x>0$) функция убывает от $+\infty$ до $0$. Во третьей четверти ($x<0$) функция также убывает от $0$ до $-\infty$.

- Ключевые точки: $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

2. Исследуем функцию $y = \sqrt[3]{x}$.

- Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Функция является нечетной, так как $y(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -y(x)$. Ее график также симметричен относительно начала координат.

- Функция возрастает на всей области определения.

- Ключевые точки: $(-8, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(8, 2)$.

3. Построение графиков и нахождение решений.

Построим эскизы графиков обеих функций в одной системе координат.

График $y = \frac{1}{x^5}$ (гипербола) проходит через точки $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

График $y = \sqrt[3]{x}$ (кубический корень) также проходит через точки $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

Из анализа графиков видно, что они пересекаются в двух точках.

В первой координатной четверти ($x>0$) функция $y = \frac{1}{x^5}$ убывает, а функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастает. Следовательно, они могут иметь не более одной точки пересечения. Эта точка — $(1, 1)$.

В третьей координатной четверти ($x<0$) обе функции также являются монотонными (одна убывает, другая возрастает), и, в силу симметрии относительно начала координат, они также имеют только одну точку пересечения — $(-1, -1)$.

Таким образом, абсциссы точек пересечения равны $x=1$ и $x=-1$.

Проверим подстановкой:

- Для $x=1$: $1^{-5} = 1$; $\sqrt[3]{1} = 1$. Верно.

- Для $x=-1$: $(-1)^{-5} = -1$; $\sqrt[3]{-1} = -1$. Верно.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 1$.

б) неравенство $\sqrt[3]{x+2} > 1$

Для графического решения неравенства построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt[3]{x+2}$ и $y = 1$. Решением неравенства будут те значения $x$, для которых график функции $y = \sqrt[3]{x+2}$ расположен выше графика функции $y = 1$.

1. Рассмотрим функцию $y = \sqrt[3]{x+2}$.

- Этот график получается из графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ сдвигом на 2 единицы влево вдоль оси $Ox$.

- Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Функция является возрастающей на всей области определения.

- Ключевые точки: точка "перегиба" $(-2, 0)$; пересечение с осью $Oy$ в точке $(0, \sqrt[3]{2})$; также проходит через точку $(-1, 1)$ (так как $\sqrt[3]{-1+2} = \sqrt[3]{1}=1$) и точку $(6, 2)$ (так как $\sqrt[3]{6+2} = \sqrt[3]{8}=2$).

2. Рассмотрим функцию $y = 1$.

- Это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 1)$ на оси $Oy$.

3. Построение графиков и нахождение решения.

Построим графики. Найдем точку их пересечения, решив уравнение $\sqrt[3]{x+2} = 1$.

Возведем обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{x+2})^3 = 1^3$

$x+2 = 1$

$x = -1$

Таким образом, графики пересекаются в точке с абсциссой $x=-1$.

Нас интересует, где $\sqrt[3]{x+2} > 1$, то есть где график функции $y = \sqrt[3]{x+2}$ находится выше прямой $y=1$.

Поскольку функция $y = \sqrt[3]{x+2}$ является строго возрастающей, она будет принимать значения больше 1 для всех $x$, которые больше абсциссы точки пересечения.

Следовательно, решение неравенства — это все $x > -1$.

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

9 Даны функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$, где $f(x) = x^2$, $g(x) = x^4$.

Докажите, что $\frac{f(4x)}{f(x^2)} = \frac{1}{4}\sqrt{g\left(\frac{x}{2}\right)}$.

Для доказательства данного тождества необходимо преобразовать его левую и правую части, используя заданные определения функций $f(x) = x^{-2}$ и $g(x) = x^4$. Мы покажем, что обе части равны одному и тому же выражению.

1. Преобразование левой части тождества

Левая часть имеет вид $\frac{f(4x)}{f(x^2)}$.

Сначала найдем значение числителя $f(4x)$. Для этого подставим $4x$ вместо $x$ в определение функции $f(x)$:

$f(4x) = (4x)^{-2} = \frac{1}{(4x)^2} = \frac{1}{16x^2}$

Затем найдем значение знаменателя $f(x^2)$. Для этого подставим $x^2$ вместо $x$ в определение функции $f(x)$:

$f(x^2) = (x^2)^{-2} = x^{-4} = \frac{1}{x^4}$

Теперь вычислим отношение (левую часть равенства):

$\frac{f(4x)}{f(x^2)} = \frac{\frac{1}{16x^2}}{\frac{1}{x^4}} = \frac{1}{16x^2} \cdot \frac{x^4}{1} = \frac{x^4}{16x^2} = \frac{x^2}{16}$

Таким образом, левая часть тождества равна $\frac{x^2}{16}$.

2. Преобразование правой части тождества

Правая часть имеет вид $\frac{1}{4}\sqrt{g\left(\frac{x}{2}\right)}$.

Сначала найдем значение выражения под корнем $g\left(\frac{x}{2}\right)$. Для этого подставим $\frac{x}{2}$ вместо $x$ в определение функции $g(x)$:

$g\left(\frac{x}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}\right)^4 = \frac{x^4}{2^4} = \frac{x^4}{16}$

Теперь подставим полученный результат в правую часть исходного равенства и упростим:

$\frac{1}{4}\sqrt{g\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{x^4}{16}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{x^4}}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^2}{4} = \frac{x^2}{16}$

Таким образом, правая часть тождества также равна $\frac{x^2}{16}$.

3. Заключение

Мы преобразовали левую и правую части доказываемого тождества и получили один и тот же результат:

Левая часть: $\frac{f(4x)}{f(x^2)} = \frac{x^2}{16}$

Правая часть: $\frac{1}{4}\sqrt{g\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{x^2}{16}$

Поскольку $\frac{x^2}{16} = \frac{x^2}{16}$, тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

10 Дана функция $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} |x|, & \text{если } x < 2; \\ -(x - 3)^2 + 3, & \text{если } x \ge 2. \end{cases}$

a) Постройте график функции $y = f(x)$;

б) укажите число корней уравнения $f(x) = p$, где $p$ — любое действительное число.

а) Постройте график функции y = f(x);

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика необходимо рассмотреть две части, соответствующие двум интервалам определения.

1. На интервале $x < 2$ функция имеет вид $y = |x|$.
График модуля представляет собой объединение двух лучей, выходящих из точки $(0, 0)$.
- Для $x \in (-\infty, 0)$ это луч $y = -x$.
- Для $x \in [0, 2)$ это луч $y = x$.
Мы строим эти лучи на заданном промежутке $x < 2$. Граничная точка $(2, 2)$ не будет принадлежать этому участку графика (является "выколотой" точкой).

2. На промежутке $x \ge 2$ функция имеет вид $y = -(x - 3)^2 + 3$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Ее вершина находится в точке $(3, 3)$.
Вычислим значения в ключевых точках для этого участка:
- В начальной точке $x = 2$: $y = -(2 - 3)^2 + 3 = -(-1)^2 + 3 = 2$. Точка $(2, 2)$ принадлежит графику.
- В вершине $x = 3$: $y = -(3 - 3)^2 + 3 = 3$. Точка $(3, 3)$.
- В точке $x = 4$: $y = -(4 - 3)^2 + 3 = -1^2 + 3 = 2$. Точка $(4, 2)$.
- Точка пересечения с осью абсцисс: $-(x - 3)^2 + 3 = 0 \Rightarrow (x-3)^2=3 \Rightarrow x = 3 \pm \sqrt{3}$. Условию $x \ge 2$ удовлетворяет корень $x = 3 + \sqrt{3}$.

3. Совместим оба графика.
В точке $x=2$ значение функции, вычисленное по первой формуле, стремится к 2. Значение функции по второй формуле равно 2. Следовательно, функция непрерывна в точке $x=2$, и "выколотая" точка первого графика совпадает с начальной точкой второго. Итоговый график представляет собой непрерывную линию.

Ответ: График функции построен (состоит из двух лучей, образующих "галочку" на интервале $(-\infty, 2)$, и части параболы с вершиной в точке $(3,3)$ на промежутке $[2, +\infty)$).

б) укажите число корней уравнения f(x) = p, где p — любое действительное число.

Число корней уравнения $f(x) = p$ равно числу точек пересечения графика функции $y=f(x)$ и горизонтальной прямой $y=p$. Проанализируем количество таких точек, исследуя график функции.

- Если $p > 3$, прямая $y=p$ пересекает график только один раз (на луче $y=-x$).
- Если $p = 3$, прямая касается вершины параболы $(3, 3)$ и пересекает луч $y=-x$ в точке $(-3, 3)$. Итого 2 точки.
- Если $2 < p < 3$, прямая пересекает луч $y=-x$ и дважды пересекает параболу (до и после вершины). Итого 3 точки.
- Если $p = 2$, прямая проходит через точки $(-2, 2)$, $(2, 2)$ и $(4, 2)$. Итого 3 точки.
- Если $0 < p < 2$, прямая пересекает луч $y=-x$, луч $y=x$ и нисходящую ветвь параболы. Итого 3 точки.
- Если $p = 0$, прямая пересекает график в точках $(0, 0)$ и $(3+\sqrt{3}, 0)$. Итого 2 точки.
- Если $p < 0$, прямая не имеет общих точек с графиком, так как все значения функции неотрицательны.

Ответ:
- нет корней при $p \in (-\infty; 0)$;
- 1 корень при $p \in (3; +\infty)$;
- 2 корня при $p = 0$ и $p = 3$;
- 3 корня при $p \in (0; 3)$.

1. Найдите область определения функции $y = \frac{6}{\sqrt{-x^2 + 5x + 24}}$.

Область определения функции $y = \frac{6}{\sqrt{-x^2 + 5x + 24}}$ задается условиями, при которых выражение имеет смысл. Для данной функции необходимо, чтобы выражение, стоящее под знаком квадратного корня, было строго положительным, так как оно находится в знаменателе дроби. Знаменатель не может быть равен нулю, а подкоренное выражение не может быть отрицательным. Объединяя эти два условия, получаем одно строгое неравенство.

Таким образом, мы должны решить неравенство:

$-x^2 + 5x + 24 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $-x^2 + 5x + 24 = 0$. Умножим обе части уравнения на $-1$ для удобства:

$x^2 - 5x - 24 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8$

Корни уравнения $x_1 = -3$ и $x_2 = 8$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 8)$ и $(8; +\infty)$.

Поскольку в исходном неравенстве $-x^2 + 5x + 24 > 0$ коэффициент при $x^2$ отрицателен (равен $-1$), ветви параболы $y = -x^2 + 5x + 24$ направлены вниз. Следовательно, квадратичный трехчлен принимает положительные значения на интервале между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(-3; 8)$. Это и есть область определения функции.

Ответ: $x \in (-3; 8)$

2 Придумайте аналитически заданную функцию $y = f(x)$, для которой $D(f) = [1; 3]$.

Задача состоит в том, чтобы найти любую функцию $y=f(x)$, область определения которой, $D(f)$, представляет собой замкнутый промежуток $[1; 3]$. Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена (имеет смысл). Существует бесконечное множество таких функций. Рассмотрим несколько примеров, построенных на разных принципах.

Способ 1: Использование функции квадратного корня

Основное свойство функции квадратного корня $y = \sqrt{g(x)}$ заключается в том, что ее область определения задается неравенством $g(x) \ge 0$. Нам нужно подобрать такую функцию $g(x)$, которая будет неотрицательной только при $x \in [1; 3]$.

Этому условию удовлетворяет квадратичная функция (парабола), ветви которой направлены вниз, а нули (точки пересечения с осью $x$) находятся в точках $x=1$ и $x=3$. Такую функцию можно записать в виде $g(x) = a(x-1)(x-3)$, где $a < 0$.

Возьмем, например, $a = -1$. Тогда $g(x) = -(x-1)(x-3) = -(x^2 - 4x + 3) = -x^2 + 4x - 3$.

Теперь рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{-x^2 + 4x - 3}$. Ее область определения находится из условия: $-x^2 + 4x - 3 \ge 0$
Умножим неравенство на $-1$ и сменим знак:
$x^2 - 4x + 3 \le 0$
Корнями уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 4x + 3 \le 0$ выполняется между корнями, включая сами корни. Следовательно, область определения $D(f)$ есть промежуток $[1; 3]$.

Ответ: $f(x) = \sqrt{-x^2 + 4x - 3}$.

Способ 2: Использование комбинации двух квадратных корней

Можно сконструировать функцию как сумму или произведение двух функций, чтобы их общая область определения стала нужным нам промежутком. Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{3-x}$.

Эта функция определена, когда оба подкоренных выражения неотрицательны одновременно. Это приводит к системе неравенств: $$ \begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ 3 - x \ge 0 \end{cases} $$

Решим эту систему: $$ \begin{cases} x \ge 1 \\ x \le 3 \end{cases} $$ Пересечением этих двух условий является отрезок $1 \le x \le 3$, то есть $x \in [1; 3]$. Таким образом, область определения $D(f)$ этой функции — это в точности промежуток $[1; 3]$.

Ответ: $f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{3-x}$.

Способ 3: Использование обратных тригонометрических функций

Область определения функций арксинуса $y=\arcsin(u)$ и арккосинуса $y=\arccos(u)$ задается условием $-1 \le u \le 1$. Мы можем использовать это, подобрав такую функцию $u=g(x)$, которая отображает отрезок $[1; 3]$ на отрезок $[-1; 1]$.

Самый простой способ сделать это — использовать линейное преобразование $g(x) = ax + b$. Мы хотим, чтобы $g(1) = -1$ и $g(3) = 1$. Это дает нам систему уравнений: $$ \begin{cases} a \cdot 1 + b = -1 \\ a \cdot 3 + b = 1 \end{cases} $$

Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2a = 2$, откуда $a=1$. Подставляя $a=1$ в первое уравнение, находим $1 + b = -1$, откуда $b=-2$. Итак, искомая линейная функция $g(x) = x-2$.

Теперь мы можем задать нашу функцию как $f(x) = \arcsin(x-2)$. Ее область определения находится из двойного неравенства:
$-1 \le x-2 \le 1$
Прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$-1 + 2 \le x \le 1 + 2$
$1 \le x \le 3$
Таким образом, область определения $D(f)$ — это промежуток $[1; 3]$. Аналогично можно было бы использовать функцию $f(x) = \arccos(x-2)$.

Ответ: $f(x) = \arcsin(x-2)$.

3 Функция $y = f(x)$ задана на множестве всех натуральных чисел с помощью следующего правила: каждому числу $x$ ставится в соответствие число единиц в записи куба числа $x$. Найдите область значений данной функции.

По условию, функция $y = f(x)$ определена на множестве натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$. Каждому натуральному числу $x$ она ставит в соответствие $y$ — количество цифр '1' в десятичной записи числа $x^3$. Требуется найти область значений этой функции, то есть множество всех возможных значений $y$. Обозначим область значений как $E(f)$.

Поскольку $y$ — это количество цифр, оно может быть только целым неотрицательным числом. То есть, область значений является подмножеством множества $\{0, 1, 2, 3, \dots\}$. Докажем, что область значений функции совпадает с множеством всех неотрицательных целых чисел.

1. Покажем, что $0 \in E(f)$.

Для этого нужно найти такое натуральное число $x$, чтобы в десятичной записи $x^3$ не было ни одной цифры '1'.

Рассмотрим $x = 2$. Тогда $x^3 = 2^3 = 8$. В записи этого числа нет цифр '1'.

Следовательно, $f(2) = 0$, и число $0$ принадлежит области значений функции.

2. Покажем, что любое натуральное число $k \in \mathbb{N}$ также принадлежит $E(f)$.

Для этого для произвольного натурального $k$ мы должны предъявить такое число $x$, что $f(x) = k$.

Рассмотрим число $x$, которое является суммой $k$ различных степеней числа 10 с достаточно большими и разнесенными показателями. Пусть $x$ имеет вид:

$x = \sum_{i=1}^{k} 10^{m_i} = 10^{m_1} + 10^{m_2} + \dots + 10^{m_k}$

где $m_1, m_2, \dots, m_k$ — натуральные числа, которые мы выберем позже.

Возведем $x$ в куб, используя формулу для куба суммы (мультиномиальную теорему):

$x^3 = \left( \sum_{i=1}^{k} 10^{m_i} \right)^3 = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{k} 10^{m_i + m_j + m_l}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями. Показатели степеней $m_i + m_j + m_l$ будут одинаковыми, если наборы индексов $\{i, j, l\}$ совпадают как мультимножества. Коэффициент при $10^{m_i+m_j+m_l}$ будет равен числу перестановок в кортеже $(i, j, l)$.

Возможны три случая для индексов $i, j, l$ из набора $\{1, 2, \dots, k\}$:

1. Все три индекса равны: $i = j = l$. Таких слагаемых $k$. Они имеют вид $(10^{m_i})^3 = 1 \cdot 10^{3m_i}$. Коэффициент равен 1.
2. Два индекса равны, а третий отличается: например, $i = j \neq l$. Такие слагаемые имеют вид $3 \cdot (10^{m_i})^2 \cdot 10^{m_l} = 3 \cdot 10^{2m_i + m_l}$. Коэффициент равен 3.
3. Все три индекса различны: $i \neq j \neq l$. Такие слагаемые имеют вид $6 \cdot 10^{m_i} \cdot 10^{m_j} \cdot 10^{m_l} = 6 \cdot 10^{m_i + m_j + m_l}$. Коэффициент равен 6.

Таким образом, в разложении $x^3$ по степеням 10 все коэффициенты могут быть только числами 1, 3 или 6. Цифра '1' может появиться в итоговой записи числа $x^3$ только от слагаемых, у которых коэффициент равен 1.

Слагаемые с коэффициентом 1 — это в точности $k$ слагаемых вида $1 \cdot 10^{3m_i}$ для $i = 1, 2, \dots, k$.

Теперь выберем показатели $m_i$ так, чтобы десятичные записи слагаемых $C \cdot 10^E$ не перекрывались при сложении. Для этого достаточно, чтобы показатели степеней десятки были достаточно "далеко" друг от друга. Например, можно взять $m_i = 3^i \cdot M$ для некоторого достаточно большого натурального $M$. При большом $M$ (например, $M \ge 1$) показатели $m_i+m_j+m_l$ для разных наборов $\{i,j,l\}$ будут различными, а сами слагаемые вида $C \cdot 10^{E}$ (где $C$ - один из коэффициентов 1, 3 или 6) при сложении не будут давать переносов разрядов, влияющих на другие слагаемые.

В результате число $x^3$ будет состоять из $k$ цифр '1', некоторого количества цифр '3' и '6', а остальные цифры будут нулями. Количество цифр '1' в записи $x^3$ будет в точности равно $k$.

Например, чтобы получить $f(x) = 2$, можно взять $x = 10^1 + 10^3 = 1001$. Тогда $x^3 = (10^3+1)^3 = 10^9 + 3 \cdot 10^6 + 3 \cdot 10^3 + 1 = 1003003001$. В записи этого числа две единицы, $f(1001)=2$.

Таким образом, для любого натурального $k$ мы можем построить такое число $x$, что $f(x)=k$.

Вывод

Мы показали, что $0$ является значением функции, и любое натуральное число $k$ также является значением функции. Следовательно, область значений функции $y=f(x)$ — это множество всех неотрицательных целых чисел.

Ответ: Множество всех неотрицательных целых чисел, то есть $\{0, 1, 2, 3, \dots\}$.

4 Используя свойства числовых неравенств, исследуйте на монотонность функцию $y = -x^4 - x^2 + 8$, $x \in [0; +\infty)$.

Для исследования функции $y = -x^4 - x^2 + 8$ на монотонность на промежутке $x \in [0; +\infty)$ воспользуемся определением монотонной функции и свойствами числовых неравенств.

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$.

Возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из области определения $x \in [0; +\infty)$ так, чтобы выполнялось условие $0 \le x_1 < x_2$.

Найдем значения функции в этих точках:

$y(x_1) = -x_1^4 - x_1^2 + 8$

$y(x_2) = -x_2^4 - x_2^2 + 8$

Чтобы сравнить значения $y(x_1)$ и $y(x_2)$, составим и проанализируем их разность $y(x_2) - y(x_1)$:

$y(x_2) - y(x_1) = (-x_2^4 - x_2^2 + 8) - (-x_1^4 - x_1^2 + 8)$

$y(x_2) - y(x_1) = -x_2^4 - x_2^2 + 8 + x_1^4 + x_1^2 - 8$

Сгруппируем слагаемые:

$y(x_2) - y(x_1) = (x_1^4 - x_2^4) + (x_1^2 - x_2^2)$

Разложим выражения в скобках на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x_1^4 - x_2^4 = (x_1^2 - x_2^2)(x_1^2 + x_2^2)$

Подставим это в выражение для разности:

$y(x_2) - y(x_1) = (x_1^2 - x_2^2)(x_1^2 + x_2^2) + (x_1^2 - x_2^2)$

Вынесем общий множитель $(x_1^2 - x_2^2)$ за скобки:

$y(x_2) - y(x_1) = (x_1^2 - x_2^2)(x_1^2 + x_2^2 + 1)$

Снова применим формулу разности квадратов для первого множителя:

$y(x_2) - y(x_1) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2)(x_1^2 + x_2^2 + 1)$

Теперь определим знак каждого множителя в полученном произведении, учитывая исходное условие $0 \le x_1 < x_2$.

1. Множитель $(x_1 - x_2)$. Так как по условию $x_1 < x_2$, то разность $x_1 - x_2$ будет отрицательной: $x_1 - x_2 < 0$.

2. Множитель $(x_1 + x_2)$. Так как $x_1 \ge 0$ и $x_2 > x_1 \ge 0$, то $x_2 > 0$. Сумма неотрицательного и положительного числа является положительным числом: $x_1 + x_2 > 0$.

3. Множитель $(x_1^2 + x_2^2 + 1)$. Так как $x_1^2 \ge 0$ и $x_2^2 > 0$, то их сумма $x_1^2 + x_2^2 > 0$. Прибавив 1, мы получим строго положительное число: $x_1^2 + x_2^2 + 1 > 1$.

Теперь определим знак всего произведения:

$y(x_2) - y(x_1) = \underbrace{(x_1 - x_2)}_{<0} \cdot \underbrace{(x_1 + x_2)}_{>0} \cdot \underbrace{(x_1^2 + x_2^2 + 1)}_{>0}$

Произведение отрицательного множителя на два положительных дает отрицательный результат:

$y(x_2) - y(x_1) < 0$

Из этого неравенства следует, что $y(x_2) < y(x_1)$.

Мы показали, что для любых $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[0; +\infty)$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$. Согласно определению, это означает, что функция $y = -x^4 - x^2 + 8$ является (строго) убывающей на всем заданном промежутке.

Ответ: функция $y = -x^4 - x^2 + 8$ убывает на промежутке $[0; +\infty)$.