Номер 3, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3 Функция $y = f(x)$ задана на множестве всех натуральных чисел с помощью следующего правила: каждому числу $x$ ставится в соответствие число единиц в записи куба числа $x$. Найдите область значений данной функции.

По условию, функция $y = f(x)$ определена на множестве натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$. Каждому натуральному числу $x$ она ставит в соответствие $y$ — количество цифр '1' в десятичной записи числа $x^3$. Требуется найти область значений этой функции, то есть множество всех возможных значений $y$. Обозначим область значений как $E(f)$.

Поскольку $y$ — это количество цифр, оно может быть только целым неотрицательным числом. То есть, область значений является подмножеством множества $\{0, 1, 2, 3, \dots\}$. Докажем, что область значений функции совпадает с множеством всех неотрицательных целых чисел.

1. Покажем, что $0 \in E(f)$.

Для этого нужно найти такое натуральное число $x$, чтобы в десятичной записи $x^3$ не было ни одной цифры '1'.

Рассмотрим $x = 2$. Тогда $x^3 = 2^3 = 8$. В записи этого числа нет цифр '1'.

Следовательно, $f(2) = 0$, и число $0$ принадлежит области значений функции.

2. Покажем, что любое натуральное число $k \in \mathbb{N}$ также принадлежит $E(f)$.

Для этого для произвольного натурального $k$ мы должны предъявить такое число $x$, что $f(x) = k$.

Рассмотрим число $x$, которое является суммой $k$ различных степеней числа 10 с достаточно большими и разнесенными показателями. Пусть $x$ имеет вид:

$x = \sum_{i=1}^{k} 10^{m_i} = 10^{m_1} + 10^{m_2} + \dots + 10^{m_k}$

где $m_1, m_2, \dots, m_k$ — натуральные числа, которые мы выберем позже.

Возведем $x$ в куб, используя формулу для куба суммы (мультиномиальную теорему):

$x^3 = \left( \sum_{i=1}^{k} 10^{m_i} \right)^3 = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{k} 10^{m_i + m_j + m_l}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями. Показатели степеней $m_i + m_j + m_l$ будут одинаковыми, если наборы индексов $\{i, j, l\}$ совпадают как мультимножества. Коэффициент при $10^{m_i+m_j+m_l}$ будет равен числу перестановок в кортеже $(i, j, l)$.

Возможны три случая для индексов $i, j, l$ из набора $\{1, 2, \dots, k\}$:

1. Все три индекса равны: $i = j = l$. Таких слагаемых $k$. Они имеют вид $(10^{m_i})^3 = 1 \cdot 10^{3m_i}$. Коэффициент равен 1.
2. Два индекса равны, а третий отличается: например, $i = j \neq l$. Такие слагаемые имеют вид $3 \cdot (10^{m_i})^2 \cdot 10^{m_l} = 3 \cdot 10^{2m_i + m_l}$. Коэффициент равен 3.
3. Все три индекса различны: $i \neq j \neq l$. Такие слагаемые имеют вид $6 \cdot 10^{m_i} \cdot 10^{m_j} \cdot 10^{m_l} = 6 \cdot 10^{m_i + m_j + m_l}$. Коэффициент равен 6.

Таким образом, в разложении $x^3$ по степеням 10 все коэффициенты могут быть только числами 1, 3 или 6. Цифра '1' может появиться в итоговой записи числа $x^3$ только от слагаемых, у которых коэффициент равен 1.

Слагаемые с коэффициентом 1 — это в точности $k$ слагаемых вида $1 \cdot 10^{3m_i}$ для $i = 1, 2, \dots, k$.

Теперь выберем показатели $m_i$ так, чтобы десятичные записи слагаемых $C \cdot 10^E$ не перекрывались при сложении. Для этого достаточно, чтобы показатели степеней десятки были достаточно "далеко" друг от друга. Например, можно взять $m_i = 3^i \cdot M$ для некоторого достаточно большого натурального $M$. При большом $M$ (например, $M \ge 1$) показатели $m_i+m_j+m_l$ для разных наборов $\{i,j,l\}$ будут различными, а сами слагаемые вида $C \cdot 10^{E}$ (где $C$ - один из коэффициентов 1, 3 или 6) при сложении не будут давать переносов разрядов, влияющих на другие слагаемые.

В результате число $x^3$ будет состоять из $k$ цифр '1', некоторого количества цифр '3' и '6', а остальные цифры будут нулями. Количество цифр '1' в записи $x^3$ будет в точности равно $k$.

Например, чтобы получить $f(x) = 2$, можно взять $x = 10^1 + 10^3 = 1001$. Тогда $x^3 = (10^3+1)^3 = 10^9 + 3 \cdot 10^6 + 3 \cdot 10^3 + 1 = 1003003001$. В записи этого числа две единицы, $f(1001)=2$.

Таким образом, для любого натурального $k$ мы можем построить такое число $x$, что $f(x)=k$.

Вывод

Мы показали, что $0$ является значением функции, и любое натуральное число $k$ также является значением функции. Следовательно, область значений функции $y=f(x)$ — это множество всех неотрицательных целых чисел.

Ответ: Множество всех неотрицательных целых чисел, то есть $\{0, 1, 2, 3, \dots\}$.