Номер 16.11, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.11 Выясните, является ли арифметической прогрессией последовательность ($x_n$), заданная формулой $n$-го члена. Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.

а) $x_n = 3n + 1$;

б) $x_n = 3 \cdot 2^n$;

в) $x_n = n^2$;

г) $x_n = 4n - 3$.

а) $x_n = 3n + 1$

Для того чтобы выяснить, является ли последовательность $(x_n)$ арифметической прогрессией, необходимо проверить, является ли разность между любым ее членом и предыдущим членом постоянной величиной. Эта величина называется разностью арифметической прогрессии и обозначается $d$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = 3(n+1) + 1 = 3n + 3 + 1 = 3n + 4$.

Теперь вычислим разность $x_{n+1} - x_n$: $d = x_{n+1} - x_n = (3n + 4) - (3n + 1) = 3n + 4 - 3n - 1 = 3$.

Разность $d=3$ является постоянной величиной (не зависит от $n$), следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Первый член прогрессии $x_1$ найдем, подставив $n=1$ в исходную формулу: $x_1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4$.

Ответ: Да, является. Первый член $x_1 = 4$, разность прогрессии $d = 3$.

б) $x_n = 3 \cdot 2^n$

Проверим, является ли разность $x_{n+1} - x_n$ постоянной. Для этого найдем несколько первых членов последовательности.

При $n=1$: $x_1 = 3 \cdot 2^1 = 6$.
При $n=2$: $x_2 = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$.
При $n=3$: $x_3 = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$.

Теперь найдем разности между соседними членами: $x_2 - x_1 = 12 - 6 = 6$.
$x_3 - x_2 = 24 - 12 = 12$.

Так как разности $6$ и $12$ не равны, разность между членами не является постоянной. Следовательно, эта последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.

в) $x_n = n^2$

Найдем несколько первых членов последовательности, чтобы проверить, постоянна ли разность между ними.

При $n=1$: $x_1 = 1^2 = 1$.
При $n=2$: $x_2 = 2^2 = 4$.
При $n=3$: $x_3 = 3^2 = 9$.

Найдем разности между соседними членами: $x_2 - x_1 = 4 - 1 = 3$.
$x_3 - x_2 = 9 - 4 = 5$.

Так как $3 \ne 5$, разность между членами не является постоянной. Следовательно, эта последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.

г) $x_n = 4n - 3$

Проверим, является ли разность $x_{n+1} - x_n$ постоянной величиной.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = 4(n+1) - 3 = 4n + 4 - 3 = 4n + 1$.

Теперь вычислим разность $x_{n+1} - x_n$: $d = x_{n+1} - x_n = (4n + 1) - (4n - 3) = 4n + 1 - 4n + 3 = 4$.

Разность $d=4$ является постоянной величиной (не зависит от $n$), следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Первый член прогрессии $x_1$ найдем, подставив $n=1$ в исходную формулу: $x_1 = 4 \cdot 1 - 3 = 1$.

Ответ: Да, является. Первый член $x_1 = 1$, разность прогрессии $d = 4$.