Номер 16.12, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.12 Докажите, что последовательность ($a_n$) является арифметической прогрессией, и найдите разность прогрессии:

а) $a_n = 2n + 1$;

б) $a_n = 0,5n - 4$;

в) $a_n = -3n + 1$;

г) $a_n = -\frac{1}{3}n - 1$.

Чтобы доказать, что последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией, необходимо показать, что разность между последующим и предыдущим членами последовательности, $d = a_{n+1} - a_n$, является постоянной величиной (константой), не зависящей от $n$. Эта величина $d$ и будет разностью прогрессии.

а) Дана последовательность $a_n = 2n + 1$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив $n+1$ вместо $n$:

$a_{n+1} = 2(n+1) + 1 = 2n + 2 + 1 = 2n + 3$.

Теперь найдем разность $a_{n+1} - a_n$:

$d = a_{n+1} - a_n = (2n + 3) - (2n + 1) = 2n + 3 - 2n - 1 = 2$.

Разность не зависит от $n$ и равна 2. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=2$.

Ответ: последовательность является арифметической прогрессией, разность равна 2.

б) Дана последовательность $a_n = 0,5n - 4$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$a_{n+1} = 0,5(n+1) - 4 = 0,5n + 0,5 - 4 = 0,5n - 3,5$.

Найдем разность $a_{n+1} - a_n$:

$d = a_{n+1} - a_n = (0,5n - 3,5) - (0,5n - 4) = 0,5n - 3,5 - 0,5n + 4 = 0,5$.

Разность не зависит от $n$ и равна 0,5. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=0,5$.

Ответ: последовательность является арифметической прогрессией, разность равна 0,5.

в) Дана последовательность $a_n = -3n + 1$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$a_{n+1} = -3(n+1) + 1 = -3n - 3 + 1 = -3n - 2$.

Найдем разность $a_{n+1} - a_n$:

$d = a_{n+1} - a_n = (-3n - 2) - (-3n + 1) = -3n - 2 + 3n - 1 = -3$.

Разность не зависит от $n$ и равна -3. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=-3$.

Ответ: последовательность является арифметической прогрессией, разность равна -3.

г) Дана последовательность $a_n = -\frac{1}{3}n - 1$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$a_{n+1} = -\frac{1}{3}(n+1) - 1 = -\frac{1}{3}n - \frac{1}{3} - 1 = -\frac{1}{3}n - \frac{4}{3}$.

Найдем разность $a_{n+1} - a_n$:

$d = a_{n+1} - a_n = (-\frac{1}{3}n - \frac{4}{3}) - (-\frac{1}{3}n - 1) = -\frac{1}{3}n - \frac{4}{3} + \frac{1}{3}n + 1 = -\frac{4}{3} + \frac{3}{3} = -\frac{1}{3}$.

Разность не зависит от $n$ и равна $-\frac{1}{3}$. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=-\frac{1}{3}$.

Ответ: последовательность является арифметической прогрессией, разность равна $-\frac{1}{3}$.