Страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

36 Упростите выражение $\frac{a^4 \cdot a^{-9}}{(a^3)^2 a^{-7}}$

1) $a^3$;

2) $a^{-3}$;

3) $a^4$;

4) $a^{-4}$.

Для упрощения данного выражения необходимо последовательно применить свойства степеней. Исходное выражение: $ \frac{a^4 \cdot a^{-9}}{(a^3)^2 a^{-7}} $.

1. Упростим числитель дроби.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Используем правило $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
$ a^4 \cdot a^{-9} = a^{4 + (-9)} = a^{4-9} = a^{-5} $

2. Упростим знаменатель дроби.
Сначала возведем степень в степень. При этом показатели степеней перемножаются согласно правилу $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
$ (a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6 $
Теперь умножим полученный результат на $a^{-7}$, снова используя правило сложения показателей:
$ a^6 \cdot a^{-7} = a^{6 + (-7)} = a^{6-7} = a^{-1} $

3. Выполним деление.
Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь и выполним деление. При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени числителя вычитается показатель степени знаменателя по правилу $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.
$ \frac{a^{-5}}{a^{-1}} = a^{-5 - (-1)} = a^{-5+1} = a^{-4} $

Таким образом, после упрощения выражение принимает вид $a^{-4}$. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: $a^{-4}$.

37 Упростите выражение $\frac{(a^4)^3a^{-12}}{(a^2)^{-5}a^7}$.

1) 0;

2) $a^3$;

3) $a^{-4}$;

4) $a^{-3}$.

Чтобы упростить данное выражение, необходимо последовательно применить свойства степеней.

Исходное выражение:

$$ \frac{(a^4)^3 a^{-12}}{(a^2)^{-5} a^7} $$

Упростим числитель дроби

Для начала воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$ (a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12} $$

Теперь числитель имеет вид $a^{12} \cdot a^{-12}$. Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$ a^{12} \cdot a^{-12} = a^{12 + (-12)} = a^0 $$

Любое число, отличное от нуля, в нулевой степени равно единице, поэтому $a^0 = 1$.

Упростим знаменатель дроби

Аналогично числителю, сначала возведем степень в степень:

$$ (a^2)^{-5} = a^{2 \cdot (-5)} = a^{-10} $$

Теперь знаменатель имеет вид $a^{-10} \cdot a^7$. Умножим степени:

$$ a^{-10} \cdot a^7 = a^{-10 + 7} = a^{-3} $$

Завершим упрощение

Подставим полученные значения числителя и знаменателя в исходную дробь:

$$ \frac{1}{a^{-3}} $$

По свойству степени с отрицательным показателем $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$, получаем:

$$ a^3 $$

Другой способ — применить свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ к выражению $\frac{a^0}{a^{-3}}$:

$$ \frac{a^0}{a^{-3}} = a^{0 - (-3)} = a^{0+3} = a^3 $$

Результат упрощения выражения — $a^3$, что соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2) $a^3$.

38 Упростите выражение $\frac{(2a)^3 \cdot 4a^{-2}}{(4a^3)^2}$.

1) $2a^{-5}$;

2) $2a^{-4}$;

3) $8a^{-5}$;

4) $\frac{1}{2a^5}$.

Для упрощения выражения $ \frac{(2a)^3 \cdot 4a^{-2}}{(4a^3)^2} $ выполним последовательные преобразования, используя свойства степеней.

1. Упростим числитель дроби.

Числитель представляет собой произведение $ (2a)^3 \cdot 4a^{-2} $. Сначала раскроем скобки в выражении $ (2a)^3 $, применив свойство возведения произведения в степень $ (xy)^n = x^n y^n $:

$ (2a)^3 = 2^3 \cdot a^3 = 8a^3 $.

Теперь умножим полученный результат на второй множитель $ 4a^{-2} $. Для этого перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковым основанием $a$, используя свойство $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $:

$ 8a^3 \cdot 4a^{-2} = (8 \cdot 4) \cdot (a^3 \cdot a^{-2}) = 32 \cdot a^{3+(-2)} = 32a^1 = 32a $.

2. Упростим знаменатель дроби.

Знаменатель дроби равен $ (4a^3)^2 $. Раскроем скобки, используя свойство возведения произведения в степень $ (xy)^n = x^n y^n $ и свойство возведения степени в степень $ (x^m)^n = x^{mn} $:

$ (4a^3)^2 = 4^2 \cdot (a^3)^2 = 16 \cdot a^{3 \cdot 2} = 16a^6 $.

3. Разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель.

После упрощения числителя и знаменателя исходное выражение принимает вид:

$ \frac{32a}{16a^6} $.

Чтобы упростить эту дробь, разделим числовые коэффициенты и степени с основанием $ a $ отдельно. Для деления степеней применим свойство $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:

$ \frac{32}{16} \cdot \frac{a^1}{a^6} = 2 \cdot a^{1-6} = 2a^{-5} $.

Таким образом, итоговое выражение равно $ 2a^{-5} $. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: $2a^{-5}$.

39 Упростите выражение $\frac{3b^{-1} \cdot (9b^2)^3}{(3b^{-2})^4}$.

1) $\frac{b^{13}}{3}$;

2) $27b^{13}$;

3) $9b^{10}$;

4) $27b^3$.

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо последовательно применить свойства степеней.

Исходное выражение:

$$ \frac{3b^{-1} \cdot (9b^2)^3}{(3b^{-2})^4} $$

1. Упрощение числителя.

Сначала раскроем скобки в выражении $(9b^2)^3$. Для этого представим число 9 в виде степени числа 3 ($9 = 3^2$) и воспользуемся свойством возведения произведения в степень $((xy)^n = x^n y^n)$ и свойством возведения степени в степень $((x^m)^n = x^{mn})$:

$(9b^2)^3 = (3^2 \cdot b^2)^3 = (3^2)^3 \cdot (b^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} \cdot b^{2 \cdot 3} = 3^6 b^6$.

Теперь перемножим полученный результат с первым множителем в числителе ($3b^{-1}$), используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$3b^{-1} \cdot (3^6 b^6) = (3^1 \cdot 3^6) \cdot (b^{-1} \cdot b^6) = 3^{1+6} \cdot b^{-1+6} = 3^7 b^5$.

Итак, числитель равен $3^7 b^5$.

2. Упрощение знаменателя.

Упростим выражение $(3b^{-2})^4$, используя те же свойства степеней:

$(3b^{-2})^4 = 3^4 \cdot (b^{-2})^4 = 3^4 \cdot b^{-2 \cdot 4} = 3^4 b^{-8}$.

Итак, знаменатель равен $3^4 b^{-8}$.

3. Деление числителя на знаменатель.

Подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя обратно в дробь и применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $(\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n})$:

$$ \frac{3^7 b^5}{3^4 b^{-8}} = \frac{3^7}{3^4} \cdot \frac{b^5}{b^{-8}} = 3^{7-4} \cdot b^{5-(-8)} = 3^3 \cdot b^{5+8} = 3^3 b^{13} $$

4. Окончательное упрощение.

Вычислим значение $3^3$:

$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

Таким образом, итоговое выражение равно $27b^{13}$. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: $27b^{13}$

40 Упростите выражение $(3xy)^3 \cdot (3x^{-1}y)^{-2} : (9x^3y^4)$.

1) $\frac{1}{3x^3y}$;

2) $\frac{1}{3} x^2y^{-3}$;

3) $\frac{1}{3} x^3y^8$;

4) $\frac{1}{3} x^{-3}y^7$.

Чтобы упростить данное выражение, необходимо последовательно выполнить действия, используя свойства степеней.

Исходное выражение: $(3xy)^3 \cdot (3x^{-1}y)^{-2} : (9x^3y^4)$.

1. Возведение в степень.

Сначала упростим каждый из трех одночленов в выражении.

Первый множитель: для возведения произведения в степень используем правило $(ab)^n = a^n b^n$.

$(3xy)^3 = 3^3 \cdot x^3 \cdot y^3 = 27x^3y^3$

Второй множитель: используем правила $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

$(3x^{-1}y)^{-2} = 3^{-2} \cdot (x^{-1})^{-2} \cdot y^{-2} = \frac{1}{3^2} \cdot x^{(-1) \cdot (-2)} \cdot y^{-2} = \frac{1}{9}x^2y^{-2}$

Третий одночлен (делитель) уже в стандартном виде: $9x^3y^4$.

2. Умножение и деление.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное и выполним умножение и деление. Запишем выражение в виде дроби для удобства:

$\frac{(3xy)^3 \cdot (3x^{-1}y)^{-2}}{9x^3y^4} = \frac{(27x^3y^3) \cdot (\frac{1}{9}x^2y^{-2})}{9x^3y^4}$

Сначала выполним умножение в числителе. Для этого сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями и применим правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$27x^3y^3 \cdot \frac{1}{9}x^2y^{-2} = (27 \cdot \frac{1}{9}) \cdot (x^3 \cdot x^2) \cdot (y^3 \cdot y^{-2}) = 3 \cdot x^{3+2} \cdot y^{3+(-2)} = 3x^5y^1 = 3x^5y$

Теперь разделим полученный результат на знаменатель. Применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{3x^5y}{9x^3y^4} = \frac{3}{9} \cdot \frac{x^5}{x^3} \cdot \frac{y^1}{y^4} = \frac{1}{3} \cdot x^{5-3} \cdot y^{1-4} = \frac{1}{3}x^2y^{-3}$

Таким образом, мы упростили выражение. Сравнивая результат с предложенными вариантами, видим, что он совпадает с вариантом 2.

Ответ: $\frac{1}{3}x^2y^{-3}$.

41 Упростите выражение $(7m^{-3}n^3) : (7m^5n^4)^{-2} \cdot (49m^{-1}n^{15})^{-1}$.

1) $\frac{1}{343m^{12}n^{20}}$;2) $\frac{49m^8}{n^4}$;3) $\frac{7}{m^9n^{18}}$;4) $\frac{7m^8}{n^4}$.

Для упрощения выражения необходимо последовательно выполнить все действия, применяя свойства степеней.

Исходное выражение: $(7m^{-3}n^3) : (7m^5n^4)^{-2} \cdot (49m^{-1}n^{15})^{-1}$.

1. Преобразование деления в умножение.
Операция деления на число в степени $-2$ эквивалентна умножению на это же число в степени $2$. Используем свойство $a : b^{-n} = a \cdot b^n$.

$(7m^{-3}n^3) \cdot (7m^5n^4)^{2} \cdot (49m^{-1}n^{15})^{-1}$

2. Раскрытие скобок.
Воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(abc)^k = a^k b^k c^k$ и свойством возведения степени в степень $(a^x)^y = a^{xy}$.

Для второго множителя:
$(7m^5n^4)^2 = 7^2 \cdot (m^5)^2 \cdot (n^4)^2 = 49m^{10}n^8$.

Для третьего множителя, представив $49$ как $7^2$:
$(49m^{-1}n^{15})^{-1} = (7^2m^{-1}n^{15})^{-1} = (7^2)^{-1} \cdot (m^{-1})^{-1} \cdot (n^{15})^{-1} = 7^{-2}m^{(-1) \cdot (-1)}n^{15 \cdot (-1)} = 7^{-2}m^1n^{-15}$.

3. Подстановка упрощенных выражений.
Теперь подставим полученные выражения обратно:

$(7m^{-3}n^3) \cdot (49m^{10}n^8) \cdot (7^{-2}m^1n^{-15})$

4. Группировка и умножение.
Сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями и перемножим их, используя правило $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$.

Коэффициенты: $7 \cdot 49 \cdot 7^{-2} = 7^1 \cdot 7^2 \cdot 7^{-2} = 7^{1+2-2} = 7^1 = 7$.

Степени с основанием $m$: $m^{-3} \cdot m^{10} \cdot m^1 = m^{-3+10+1} = m^8$.

Степени с основанием $n$: $n^3 \cdot n^8 \cdot n^{-15} = n^{3+8-15} = n^{11-15} = n^{-4}$.

5. Запись итогового результата.
Собираем все части вместе, получаем $7m^8n^{-4}$.

Используя правило для отрицательной степени $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$, запишем ответ в виде дроби:

$\frac{7m^8}{n^4}$

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: $\frac{7m^8}{n^4}$

42 Упростите выражение $\frac{(6ab^3)^3 \cdot 3a^{-9}}{(2a^{-2}b)^3}$.

1) $81b^6$;

2) $81a^{-12}b^6$;

3) $\frac{1}{729}a^{-12}b^6$;

4) $12b^3$.

Упростите выражение

Для того чтобы упростить данное алгебраическое выражение, необходимо последовательно выполнить действия со степенями и коэффициентами.

Исходное выражение:

$$ \frac{(6ab^3)^3 \cdot 3a^{-9}}{(2a^{-2}b)^3} $$

1. Раскроем скобки в числителе и знаменателе, используя свойство возведения произведения в степень $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Выражение в числителе:$(6ab^3)^3 = 6^3 \cdot a^3 \cdot (b^3)^3 = 216 \cdot a^3 \cdot b^{3 \cdot 3} = 216a^3b^9$.

Выражение в знаменателе:$(2a^{-2}b)^3 = 2^3 \cdot (a^{-2})^3 \cdot b^3 = 8 \cdot a^{-2 \cdot 3} \cdot b^3 = 8a^{-6}b^3$.

2. Подставим полученные результаты обратно в дробь:

$$ \frac{216a^3b^9 \cdot 3a^{-9}}{8a^{-6}b^3} $$

3. Теперь упростим числитель. Перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. При умножении степеней их показатели складываются ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$).

Коэффициенты: $216 \cdot 3 = 648$.

Степени с основанием $a$: $a^3 \cdot a^{-9} = a^{3+(-9)} = a^{-6}$.

Таким образом, числитель равен $648a^{-6}b^9$.

4. Запишем выражение с упрощенным числителем:

$$ \frac{648a^{-6}b^9}{8a^{-6}b^3} $$

5. Разделим числитель на знаменатель. Для этого разделим коэффициенты и применим правило деления степеней с одинаковыми основаниями ($\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$).

Делим коэффициенты: $\frac{648}{8} = 81$.

Делим степени с основанием $a$: $\frac{a^{-6}}{a^{-6}} = a^{-6 - (-6)} = a^{-6+6} = a^0 = 1$.

Делим степени с основанием $b$: $\frac{b^9}{b^3} = b^{9-3} = b^6$.

6. Соединим все части вместе, чтобы получить окончательный результат:

$81 \cdot 1 \cdot b^6 = 81b^6$.

Полученный результат $81b^6$ соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: $81b^6$.

43 Упростите выражение $\frac{(10x^4y^{-3})^4}{16x^8 \cdot (25x^2y^{-2})^3}$.

1) $\frac{y^5}{5x^5}$;

2) $\frac{x^2}{25y^6}$;

3) $\frac{x^6y^6}{25}$;

4) $-\frac{10}{x^6y^{18}}$.

Для того чтобы упростить данное алгебраическое выражение, необходимо последовательно применить свойства степеней.

Исходное выражение:

$ \frac{(10x^4y^{-3})^4}{16x^8 \cdot (25x^2y^{-2})^3} $

1. Раскроем скобки в числителе и знаменателе, используя правило возведения произведения в степень $ (ab)^n = a^n b^n $ и правило возведения степени в степень $ (a^m)^n = a^{mn} $.

Для числителя:

$ (10x^4y^{-3})^4 = 10^4 \cdot (x^4)^4 \cdot (y^{-3})^4 = 10^4 x^{16} y^{-12} $

Для второго множителя в знаменателе:

$ (25x^2y^{-2})^3 = 25^3 \cdot (x^2)^3 \cdot (y^{-2})^3 = 25^3 x^6 y^{-6} $

2. Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{10^4 x^{16} y^{-12}}{16x^8 \cdot 25^3 x^6 y^{-6}} $

3. В знаменателе перемножим степени с одинаковыми основаниями, используя правило $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:

$ 16x^8 \cdot 25^3 x^6 y^{-6} = 16 \cdot 25^3 \cdot (x^8 x^6) \cdot y^{-6} = 16 \cdot 25^3 \cdot x^{14} \cdot y^{-6} $

4. Выражение примет вид:

$ \frac{10^4 x^{16} y^{-12}}{16 \cdot 25^3 x^{14} y^{-6}} $

5. Теперь упростим числовые коэффициенты, представив их в виде степеней простых чисел ($10 = 2 \cdot 5$, $16 = 2^4$, $25 = 5^2$):

$ \frac{10^4}{16 \cdot 25^3} = \frac{(2 \cdot 5)^4}{2^4 \cdot (5^2)^3} = \frac{2^4 \cdot 5^4}{2^4 \cdot 5^6} = 2^{4-4} \cdot 5^{4-6} = 2^0 \cdot 5^{-2} = 1 \cdot \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} $

6. Упростим степени с переменными, используя правило деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ \frac{x^{16}}{x^{14}} = x^{16-14} = x^2 $

$ \frac{y^{-12}}{y^{-6}} = y^{-12 - (-6)} = y^{-12+6} = y^{-6} $

7. Соберем все упрощенные части вместе:

$ \frac{1}{25} \cdot x^2 \cdot y^{-6} $

8. Запишем итоговое выражение, используя определение степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $:

$ \frac{x^2}{25y^6} $

Данный результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: $ \frac{x^2}{25y^6} $

44 Найдите значение выражения

a) $\frac{x^{-8}}{x^{-4}x^{-2}}$ при $x = \frac{1}{3};$

б) $\frac{y^{-7}y^{-8}}{(y^{-3})^4}$ при $y = 1\frac{1}{2}. $

а) Сначала упростим выражение, используя свойства степеней. В знаменателе при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $x^{-4}x^{-2} = x^{-4+(-2)} = x^{-6}$.

Теперь выражение имеет вид $\frac{x^{-8}}{x^{-6}}$. При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя: $\frac{x^{-8}}{x^{-6}} = x^{-8 - (-6)} = x^{-8+6} = x^{-2}$.

Теперь подставим значение $x = \frac{1}{3}$ в упрощенное выражение $x^{-2}$.

$x^{-2} = (\frac{1}{3})^{-2}$. По свойству степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем: $(\frac{1}{3})^{-2} = (\frac{3}{1})^2 = 3^2 = 9$.

Ответ: 9

б) Упростим данное выражение. Сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием: $y^{-7}y^{-8} = y^{-7+(-8)} = y^{-15}$.

Затем упростим знаменатель, используя правило возведения степени в степень: $(y^{-3})^4 = y^{-3 \cdot 4} = y^{-12}$.

Теперь выражение выглядит так: $\frac{y^{-15}}{y^{-12}}$. Используем правило деления степеней: $y^{-15 - (-12)} = y^{-15+12} = y^{-3}$.

Теперь подставим значение $y = 1\frac{1}{2}$. Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.

Подставим это значение в упрощенное выражение $y^{-3}$:

$y^{-3} = (\frac{3}{2})^{-3} = (\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$.

Ответ: $\frac{8}{27}$