Страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1 Найдите натуральное число $x$, про которое известно, что оно:

а) больше 7246, но меньше 7256 и при этом делится на 9;

б) больше 8864, но меньше 8872 и при этом делится на 6;

в) больше 9347, но меньше 9362 и при этом делится на 15;

г) больше 7572, но меньше 7590 и при этом делится на 18.

а) Нам нужно найти натуральное число $x$, которое удовлетворяет условиям $7246 < x < 7256$ и делится на 9.

Вспомним признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Выпишем все натуральные числа в указанном интервале: 7247, 7248, 7249, 7250, 7251, 7252, 7253, 7254, 7255.

Теперь для каждого из этих чисел найдем сумму его цифр и проверим, делится ли она на 9:

• 7247: $7+2+4+7=20$ (не делится на 9)
• 7248: $7+2+4+8=21$ (не делится на 9)
• 7249: $7+2+4+9=22$ (не делится на 9)
• 7250: $7+2+5+0=14$ (не делится на 9)
• 7251: $7+2+5+1=15$ (не делится на 9)
• 7252: $7+2+5+2=16$ (не делится на 9)
• 7253: $7+2+5+3=17$ (не делится на 9)
• 7254: $7+2+5+4=18$. Сумма цифр 18 делится на 9 ($18 \div 9 = 2$), следовательно, число 7254 делится на 9.
• 7255: $7+2+5+5=19$ (не делится на 9)

Единственное число в заданном диапазоне, которое делится на 9, — это 7254.

Ответ: 7254

б) Ищем натуральное число $x$ такое, что $8864 < x < 8872$ и $x$ делится на 6.

Признак делимости на 6: число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 (то есть является четным) и на 3 (сумма его цифр делится на 3).

Натуральные числа в данном диапазоне: 8865, 8866, 8867, 8868, 8869, 8870, 8871.

Сначала отберем четные числа из этого списка: 8866, 8868, 8870.

Теперь проверим их на делимость на 3, вычислив сумму цифр:

• 8866: $8+8+6+6=28$ (не делится на 3)
• 8868: $8+8+6+8=30$. Сумма 30 делится на 3 ($30 \div 3 = 10$), значит, 8868 делится на 3. Поскольку оно четное, оно делится на 6.
• 8870: $8+8+7+0=23$ (не делится на 3)

Таким образом, условию удовлетворяет только число 8868.

Ответ: 8868

в) Нужно найти натуральное число $x$ такое, что $9347 < x < 9362$ и $x$ делится на 15.

Признак делимости на 15: число делится на 15, если оно делится одновременно на 3 и на 5. Признак делимости на 5: число оканчивается на 0 или 5. Признак делимости на 3: сумма цифр числа делится на 3.

Рассмотрим числа в интервале от 9347 до 9362.

Сначала выберем те, что делятся на 5 (оканчиваются на 0 или 5): 9350, 9355, 9360.

Теперь проверим их на делимость на 3:

• 9350: $9+3+5+0=17$ (не делится на 3)
• 9355: $9+3+5+5=22$ (не делится на 3)
• 9360: $9+3+6+0=18$. Сумма 18 делится на 3 ($18 \div 3 = 6$), значит, 9360 делится на 3. Так как оно также делится на 5, оно делится и на 15.

Следовательно, искомое число — 9360.

Ответ: 9360

г) Найти натуральное число $x$, которое больше 7572, но меньше 7590 и при этом делится на 18. То есть, $7572 < x < 7590$ и $x$ кратно 18.

Признак делимости на 18: число делится на 18, если оно делится одновременно на 2 (является четным) и на 9 (сумма его цифр делится на 9).

Натуральные числа в заданном диапазоне: от 7573 до 7589.

Сначала выберем из них четные числа: 7574, 7576, 7578, 7580, 7582, 7584, 7586, 7588.

Теперь проверим для каждого из них сумму цифр на делимость на 9:

• 7574: $7+5+7+4=23$ (не делится на 9)
• 7576: $7+5+7+6=25$ (не делится на 9)
• 7578: $7+5+7+8=27$. Сумма 27 делится на 9 ($27 \div 9 = 3$), значит, 7578 делится на 9. Поскольку оно четное, оно делится на 18.
• 7580: $7+5+8+0=20$ (не делится на 9)
• 7582: $7+5+8+2=22$ (не делится на 9)
• 7584: $7+5+8+4=24$ (не делится на 9)
• 7586: $7+5+8+6=26$ (не делится на 9)
• 7588: $7+5+8+8=28$ (не делится на 9)

Единственное число, удовлетворяющее всем условиям, это 7578.

Ответ: 7578

2 На какое из указанных чисел делится произведение $213 \cdot 65$?

1) 26;

2) 142;

3) 45;

4) 39?

Чтобы определить, на какое из предложенных чисел делится произведение $213 \cdot 65$, не обязательно вычислять само произведение. Вместо этого можно разложить множители и предложенные числа на простые множители. Если произведение делится на число, то все простые множители этого числа должны содержаться в наборе простых множителей произведения.

1. Найдем простые множители для чисел $213$ и $65$.

Сумма цифр числа $213$ равна $2 + 1 + 3 = 6$. Так как $6$ делится на $3$, то и $213$ делится на $3$.
$213 = 3 \cdot 71$. Число $71$ является простым.

Число $65$ заканчивается на $5$, значит, оно делится на $5$.
$65 = 5 \cdot 13$. Число $13$ является простым.

Таким образом, произведение $213 \cdot 65$ можно представить в виде произведения простых множителей:
$213 \cdot 65 = 3 \cdot 71 \cdot 5 \cdot 13$.

2. Теперь проверим каждый из предложенных вариантов ответа.

1) 26
Разложим число $26$ на простые множители: $26 = 2 \cdot 13$.
В разложении произведения $213 \cdot 65$ есть множитель $13$, но нет множителя $2$. Следовательно, произведение не делится на $26$.

2) 142
Разложим число $142$ на простые множители: $142 = 2 \cdot 71$.
В разложении произведения $213 \cdot 65$ есть множитель $71$, но нет множителя $2$. Следовательно, произведение не делится на $142$.

3) 45
Разложим число $45$ на простые множители: $45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.
В разложении произведения $213 \cdot 65$ есть множители $3$ и $5$, но множитель $3$ встречается только один раз, а для делимости на $45$ он должен встречаться дважды ($3^2$). Следовательно, произведение не делится на $45$.

4) 39
Разложим число $39$ на простые множители: $39 = 3 \cdot 13$.
В разложении произведения $213 \cdot 65 = 3 \cdot 71 \cdot 5 \cdot 13$ присутствуют оба множителя: и $3$, и $13$.
Мы можем сгруппировать множители следующим образом: $(3 \cdot 13) \cdot (71 \cdot 5) = 39 \cdot 355$.
Это показывает, что произведение $213 \cdot 65$ делится на $39$.
Ответ: 4

3 На какое из указанных чисел не делится значение выражения

$23^2 + 23 \cdot 26$?

1) 23; 2) 7; 3) 9; 4) 49?

Для того чтобы найти, на какое из предложенных чисел не делится значение выражения $23^2 + 23 \cdot 26$, мы сначала упростим это выражение. Для этого вынесем общий множитель 23 за скобки:

$23^2 + 23 \cdot 26 = 23 \cdot (23 + 26)$

Выполним сложение в скобках:

$23 + 26 = 49$

Таким образом, значение исходного выражения равно произведению:

$23 \cdot 49$

Теперь поочередно проверим делимость этого произведения на каждое из указанных чисел.

1) 23;

Выражение $23 \cdot 49$ делится на 23, так как 23 является одним из его множителей. Результат деления: $(23 \cdot 49) : 23 = 49$.

2) 7;

Проверим делимость на 7. Число 49 делится на 7, поскольку $49 = 7 \cdot 7$. Следовательно, все произведение $23 \cdot 49$ также делится на 7. Результат деления: $(23 \cdot 49) : 7 = 23 \cdot (49 : 7) = 23 \cdot 7 = 161$.

3) 9;

Проверим делимость на 9. Чтобы число делилось на 9, оно должно иметь в своем разложении на простые множители две тройки ($9=3^2$). Разложим наше выражение на простые множители: $23$ — это простое число, а $49 = 7^2$. Таким образом, $23 \cdot 49 = 23 \cdot 7^2$. В этом разложении нет множителя 3, поэтому число не делится на 3 и, следовательно, не делится и на 9. Другой способ проверки: $23 \cdot 49 = 1127$. Сумма цифр этого числа равна $1+1+2+7 = 11$. Поскольку 11 не делится на 9, то и число 1127 не делится на 9.

4) 49?

Выражение $23 \cdot 49$ делится на 49, так как 49 является одним из его множителей. Результат деления: $(23 \cdot 49) : 49 = 23$.

Таким образом, единственное число из предложенных, на которое не делится значение выражения, — это 9.

Ответ: 9.