Страница 135, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

20.16 В уравнение окружности $x^2 + y^2 = R^2$ в качестве радиуса $R$ подставляют натуральное число от 1 до 20. Найдите вероятность того, что:

а) точка $(1; 0)$ будет лежать на этой окружности;

б) точка $(0; -1)$ будет принадлежать кругу, который ограничен этой окружностью;

в) точка $(1; 3)$ не будет принадлежать кругу, который ограничен этой окружностью;

г) эта окружность не будет пересекать прямую $y = \sqrt{123}$.

По условию задачи, радиус $R$ окружности $x^2 + y^2 = R^2$ выбирается случайным образом из множества натуральных чисел $\{1, 2, 3, \dots, 20\}$. Общее число возможных исходов равно 20. Вероятность любого события $A$ вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число исходов, а $m$ — число благоприятствующих исходов. В нашем случае $n=20$.

а) точка (1; 0) будет лежать на этой окружности;
Точка $(x_0; y_0)$ лежит на окружности, если ее координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставим координаты точки $(1; 0)$ в уравнение $x^2 + y^2 = R^2$:
$1^2 + 0^2 = R^2$
$1 = R^2$
Поскольку $R$ — натуральное число, то единственное подходящее значение — это $R=1$.
Таким образом, существует только одно благоприятное значение радиуса из 20 возможных.
Вероятность этого события: $P = \frac{1}{20}$.
Ответ: $\frac{1}{20}$

б) точка (0; -1) будет принадлежать кругу, который ограничен этой окружностью;
Круг, ограниченный окружностью $x^2 + y^2 = R^2$, задается неравенством $x^2 + y^2 \le R^2$. Точка $(x_0; y_0)$ принадлежит кругу, если ее координаты удовлетворяют этому неравенству. Подставим координаты точки $(0; -1)$:
$0^2 + (-1)^2 \le R^2$
$1 \le R^2$
Так как $R$ — натуральное число, это неравенство эквивалентно $R \ge 1$.
Этому условию удовлетворяют все возможные значения радиуса из множества $\{1, 2, \dots, 20\}$.
Число благоприятствующих исходов равно 20.
Вероятность этого события: $P = \frac{20}{20} = 1$.
Ответ: $1$

в) точка (1; 3) не будет принадлежать кругу, который ограничен этой окружностью;
Точка не принадлежит кругу, если ее координаты не удовлетворяют неравенству $x^2 + y^2 \le R^2$. Это означает, что для точки $(1; 3)$ должно выполняться условие $x^2 + y^2 > R^2$. Подставим координаты:
$1^2 + 3^2 > R^2$
$1 + 9 > R^2$
$10 > R^2$, или $R^2 < 10$.
Поскольку $R$ — натуральное число, нам нужно найти все такие $R$, что $R < \sqrt{10}$.
Так как $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$, то $\sqrt{10} \approx 3.16$.
Натуральные значения $R$, удовлетворяющие условию $R < \sqrt{10}$, это $R \in \{1, 2, 3\}$.
Число благоприятствующих исходов равно 3.
Вероятность этого события: $P = \frac{3}{20}$.
Ответ: $\frac{3}{20}$

г) эта окружность не будет пересекать прямую $y = \sqrt{123}$.
Окружность $x^2 + y^2 = R^2$ имеет центр в точке $(0; 0)$ и радиус $R$. Прямая $y = \sqrt{123}$ является горизонтальной. Окружность не пересекает прямую, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса.
Расстояние от центра $(0; 0)$ до прямой $y = \sqrt{123}$ равно $\sqrt{123}$.
Таким образом, должно выполняться неравенство $R < \sqrt{123}$.
Оценим значение $\sqrt{123}$: $11^2 = 121$ и $12^2 = 144$, следовательно, $11 < \sqrt{123} < 12$.
Нам нужно найти все натуральные значения $R$ из диапазона от 1 до 20, которые удовлетворяют условию $R < \sqrt{123}$. Это числа $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11$.
Число благоприятствующих исходов равно 11.
Вероятность этого события: $P = \frac{11}{20}$.
Ответ: $\frac{11}{20}$

20.17 В уравнение гиперболы $y = \frac{k}{x}$ в качестве коэффициента $k$ подставляют некоторое число из множества $\{-5, -2, 1, 3, 4\}$. Найдите вероятность того, что такая гипербола:

a) пройдёт через начало координат;

б) пересечёт прямую $y = x$;

в) пройдёт через точку $(-5; 0,4)$;

г) не пересечёт окружность $x^2 + y^2 = 1$.

В задаче рассматривается уравнение гиперболы $y = \frac{k}{x}$. Коэффициент $k$ выбирается случайным образом из множества $\{-5, -2, 1, 3, 4\}$. Всего существует 5 равновероятных исходов (значений для $k$). Вероятность любого события будет вычисляться как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов, то есть к 5.

а) пройдёт через начало координат;

Начало координат — это точка $(0, 0)$. Чтобы график функции проходил через эту точку, её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Попробуем подставить $x=0$ и $y=0$ в уравнение гиперболы $y = \frac{k}{x}$:$0 = \frac{k}{0}$Данное выражение не имеет смысла, так как деление на ноль не определено. Область определения функции $y = \frac{k}{x}$ (при любом $k \neq 0$ из заданного множества) исключает значение $x=0$. Следовательно, ни одна из рассматриваемых гипербол не может пройти через начало координат.Число благоприятствующих исходов равно 0.Вероятность этого события: $P = \frac{0}{5} = 0$.

Ответ: 0

б) пересечёт прямую y = x;

Чтобы найти точки пересечения гиперболы $y = \frac{k}{x}$ и прямой $y = x$, необходимо решить систему уравнений:$$ \begin{cases} y = \frac{k}{x} \\ y = x \end{cases} $$Приравняем правые части уравнений: $x = \frac{k}{x}$.Умножив обе части на $x$ (при условии, что $x \neq 0$), получим уравнение $x^2 = k$.Это уравнение имеет действительные решения для $x$ тогда и только тогда, когда $k \ge 0$.Рассмотрим заданное множество значений для $k$: $\{-5, -2, 1, 3, 4\}$.Условию $k \ge 0$ удовлетворяют значения $k=1$, $k=3$ и $k=4$. Для $k=-5$ и $k=-2$ уравнение $x^2=k$ не имеет действительных корней.Таким образом, у нас есть 3 благоприятствующих исхода.Вероятность этого события: $P = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

в) пройдёт через точку (-5; 0,4);

Чтобы гипербола $y = \frac{k}{x}$ проходила через точку $(-5; 0,4)$, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению. Подставим $x = -5$ и $y = 0,4$ в уравнение:$0,4 = \frac{k}{-5}$Выразим $k$:$k = 0,4 \cdot (-5) = -2$Теперь необходимо проверить, принадлежит ли найденное значение $k=-2$ исходному множеству $\{-5, -2, 1, 3, 4\}$. Да, принадлежит.Это означает, что только при одном значении $k$ из множества гипербола пройдет через заданную точку.Число благоприятствующих исходов равно 1.Вероятность этого события: $P = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

г) не пересечёт окружность x² + y² = 1.

Чтобы найти, при каких значениях $k$ гипербола $y = \frac{k}{x}$ не пересекает окружность $x^2 + y^2 = 1$, сначала найдем условие их пересечения. Для этого решим систему уравнений:$$ \begin{cases} y = \frac{k}{x} \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} $$Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:$x^2 + (\frac{k}{x})^2 = 1$$x^2 + \frac{k^2}{x^2} = 1$Умножим обе части на $x^2$ (поскольку $x \neq 0$):$x^4 + k^2 = x^2$$x^4 - x^2 + k^2 = 0$Сделаем замену переменной $t = x^2$. Так как $x$ — действительное число, $t > 0$. Уравнение примет вид:$t^2 - t + k^2 = 0$Графики пересекаются, если это квадратное уравнение относительно $t$ имеет хотя бы один действительный положительный корень. Уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант $D \ge 0$.$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot k^2 = 1 - 4k^2$Условие $D \ge 0$ означает $1 - 4k^2 \ge 0$, или $k^2 \le \frac{1}{4}$, что равносильно $-\frac{1}{2} \le k \le \frac{1}{2}$.Соответственно, графики **не пересекаются**, если система не имеет действительных решений, то есть когда $D < 0$.$1 - 4k^2 < 0 \implies 4k^2 > 1 \implies k^2 > \frac{1}{4}$Это неравенство выполняется, когда $k > \frac{1}{2}$ или $k < -\frac{1}{2}$.Проверим, какие значения из множества $\{-5, -2, 1, 3, 4\}$ удовлетворяют этому условию:

• Для $k = -5$: $(-5)^2 = 25 > \frac{1}{4}$ — условие выполнено.
• Для $k = -2$: $(-2)^2 = 4 > \frac{1}{4}$ — условие выполнено.
• Для $k = 1$: $1^2 = 1 > \frac{1}{4}$ — условие выполнено.
• Для $k = 3$: $3^2 = 9 > \frac{1}{4}$ — условие выполнено.
• Для $k = 4$: $4^2 = 16 > \frac{1}{4}$ — условие выполнено.

Все 5 значений из заданного множества приводят к тому, что гипербола не пересекает окружность.Число благоприятствующих исходов равно 5.Вероятность этого события: $P = \frac{5}{5} = 1$.

Ответ: 1

20.18 Из четырёх тузов случайным образом поочерёдно вытаскивают две карты. Найдите вероятность того, что:

а) обе карты — тузы чёрной масти;

б) вторая карта — пиковый туз;

в) первая карта — туз красной масти;

г) среди выбранных карт есть бубновый туз.

В задаче рассматривается эксперимент по извлечению двух карт из четырёх тузов (пиковый, трефовый, червовый, бубновый) без возвращения. Всего имеется 4 туза: 2 чёрной масти (пиковый, трефовый) и 2 красной масти (червовый, бубновый).

Поскольку карты вытаскивают поочерёдно, порядок их извлечения важен. Общее число возможных исходов можно рассчитать как число размещений из 4 элементов по 2. Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

В нашем случае $n=4$ (общее число тузов) и $k=2$ (число извлекаемых карт).

Общее число исходов: $N = A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12$.

а) обе карты — тузы чёрной масти;

Найдём вероятность того, что обе извлечённые карты окажутся тузами чёрной масти. В колоде два туза чёрной масти: пиковый и трефовый.

Способ 1: Использование условной вероятности.

Пусть событие A — первая карта является тузом чёрной масти, а событие B — вторая карта также является тузом чёрной масти. Вероятность вытащить первым чёрного туза: $P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, так как из 4 тузов 2 — чёрные. После того как вытащили один чёрный туз, осталось 3 туза, из которых только 1 — чёрный. Вероятность вытащить вторым чёрный туз при условии, что первый был чёрным: $P(B|A) = \frac{1}{3}$. Искомая вероятность равна произведению этих вероятностей: $P = P(A) \times P(B|A) = \frac{2}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

Способ 2: Подсчёт благоприятных исходов.

Благоприятными исходами являются упорядоченные пары чёрных тузов: (пиковый, трефовый) и (трефовый, пиковый). Всего 2 благоприятных исхода. Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

б) вторая карта — пиковый туз;

Найдём вероятность того, что второй извлечённой картой будет пиковый туз.

Способ 1: Логическое рассуждение.

Поскольку карты извлекаются случайным образом, любой из четырёх тузов имеет равные шансы оказаться на любом месте (первом или втором). Следовательно, вероятность того, что на втором месте окажется именно пиковый туз, равна $\frac{1}{4}$.

Способ 2: Использование формулы полной вероятности.

Пусть событие B — «вторая карта — пиковый туз». Это событие зависит от того, какая карта была извлечена первой.
1. Первая карта — пиковый туз (событие A₁). Вероятность $P(A_1) = \frac{1}{4}$. В этом случае вторая карта не может быть пиковым тузом, так как карты не возвращаются. $P(B|A_1) = 0$.
2. Первая карта — не пиковый туз (событие A₂). Вероятность $P(A_2) = \frac{3}{4}$. В этом случае осталось 3 карты, среди которых есть пиковый туз. Вероятность вытащить его вторым: $P(B|A_2) = \frac{1}{3}$.
По формуле полной вероятности: $P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) = \frac{1}{4} \times 0 + \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

в) первая карта — туз красной масти;

Найдём вероятность того, что первая извлечённая карта — туз красной масти. Это событие относится только к первому извлечению. В колоде 4 туза, из них 2 — красной масти (червовый и бубновый). Вероятность вытащить туза красной масти равна отношению числа красных тузов к общему числу тузов.

$P = \frac{\text{число красных тузов}}{\text{общее число тузов}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) среди выбранных карт есть бубновый туз.

Найдём вероятность того, что среди двух извлечённых карт окажется бубновый туз. Это событие произойдёт, если бубновый туз будет либо первой, либо второй картой.

Способ 1: Через противоположное событие.

Противоположное событие — «среди выбранных карт нет бубнового туза». Найдём его вероятность.
Вероятность того, что первая карта — не бубновый туз, равна $\frac{3}{4}$ (так как 3 из 4 тузов не бубновые).
Если первая карта была не бубновой, то осталось 3 карты, из которых 2 — не бубновые. Вероятность, что и вторая карта — не бубновый туз, равна $\frac{2}{3}$.
Вероятность того, что ни одна из карт не является бубновым тузом, равна произведению этих вероятностей: $P(\text{нет бубнового}) = \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
Тогда искомая вероятность (наличия бубнового туза) равна: $P(\text{есть бубновый туз}) = 1 - P(\text{нет бубнового}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Способ 2: Подсчёт благоприятных исходов.

Благоприятные исходы — это те пары, где присутствует бубновый туз (Б).
Если бубновый туз на первом месте: (Б, Пик), (Б, Треф), (Б, Черви) — 3 исхода.
Если бубновый туз на втором месте: (Пик, Б), (Треф, Б), (Черви, Б) — ещё 3 исхода.
Всего $3+3=6$ благоприятных исходов из 12 возможных.
Вероятность: $P = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

20.19 Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что:

a) среди выпавших чисел есть хотя бы одна единица;

б) сумма выпавших чисел не больше 3;

в) сумма выпавших чисел меньше 11;

г) произведение выпавших чисел меньше 27.

При бросании игрального кубика дважды существует $n = 6 \times 6 = 36$ равновозможных исходов. Каждый исход можно представить в виде упорядоченной пары чисел $(x, y)$, где $x$ — результат первого броска, а $y$ — результат второго. Вероятность любого события A вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n=36$ — общее число исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию A.

а) среди выпавших чисел есть хотя бы одна единица;

Удобнее найти вероятность противоположного события: «среди выпавших чисел нет ни одной единицы». При каждом броске есть 5 исходов, в которых не выпадает единица (это числа 2, 3, 4, 5, 6). Таким образом, число комбинаций без единиц при двух бросках равно $m' = 5 \times 5 = 25$. Вероятность того, что не выпадет ни одной единицы, составляет $P(\text{нет единиц}) = \frac{25}{36}$. Искомая вероятность события «есть хотя бы одна единица» является дополнением до 1: $P(\text{хотя бы одна единица}) = 1 - P(\text{нет единиц}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$.

Ответ: $\frac{11}{36}$

б) сумма выпавших чисел не больше 3;

Событие «сумма выпавших чисел не больше 3» означает, что сумма равна 2 или 3, так как минимальная возможная сумма $1+1=2$. Благоприятными исходами (парами чисел) являются: (1, 1) для суммы, равной 2, и (1, 2), (2, 1) для суммы, равной 3. Общее число благоприятных исходов $m = 1 + 2 = 3$. Вероятность события равна $P = \frac{m}{n} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$

в) сумма выпавших чисел меньше 11;

Событие «сумма выпавших чисел меньше 11» означает, что сумма не равна 11 или 12. Найдем вероятность противоположного события: «сумма выпавших чисел больше или равна 11». Исходы, благоприятные для противоположного события: (5, 6) и (6, 5) для суммы, равной 11, и (6, 6) для суммы, равной 12. Число исходов, где сумма больше или равна 11, равно $m' = 2 + 1 = 3$. Вероятность этого события: $P(\text{сумма} \ge 11) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$. Тогда искомая вероятность равна $P(\text{сумма} < 11) = 1 - P(\text{сумма} \ge 11) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$.

Ответ: $\frac{11}{12}$

г) произведение выпавших чисел меньше 27.

Найдем вероятность противоположного события: «произведение выпавших чисел больше или равно 27». Перечислим все исходы $(x, y)$, для которых произведение $x \cdot y \ge 27$. Максимальное произведение $6 \times 6 = 36$. Если $x \le 4$, то максимальное произведение $4 \times 6 = 24$, что меньше 27. Если $x = 5$, то $5y \ge 27$, откуда $y \ge 5.4$. Единственный подходящий исход для $y$ — это 6. Получаем пару (5, 6). Если $x = 6$, то $6y \ge 27$, откуда $y \ge 4.5$. Подходящие исходы для $y$ — это 5 и 6. Получаем пары (6, 5) и (6, 6). Таким образом, всего существует 3 исхода, где произведение больше или равно 27: (5, 6), (6, 5), (6, 6). Число благоприятных исходов для противоположного события $m' = 3$. Вероятность противоположного события: $P(\text{произведение} \ge 27) = \frac{m'}{n} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$. Искомая вероятность равна $P(\text{произведение} < 27) = 1 - P(\text{произведение} \ge 27) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$.

Ответ: $\frac{11}{12}$

20.20 Случайным образом выбирают натуральное число из промежутка [100; 200). Найдите вероятность того, что:

а) оно не оканчивается нулём;

б) среди его цифр есть хотя бы одна, которая больше двух;

в) оно не является квадратом другого целого числа;

г) сумма его цифр меньше $17$.

Всего в промежутке [100; 200] находится $N = 200 - 100 + 1 = 101$ натуральное число. Это общее число равновозможных исходов для всех подпунктов задачи. Вероятность события $A$ вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов.

а) оно не оканчивается нулём
Сначала найдём количество чисел в данном промежутке, которые оканчиваются на ноль. Это все числа, кратные 10. В промежутке [100; 200] это числа: 100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 200. Всего таких чисел 11. Событие, которое нас интересует, — «число не оканчивается нулём». Количество благоприятных исходов для этого события равно разности общего числа исходов и числа исходов, когда число оканчивается на ноль: $m = 101 - 11 = 90$. Тогда искомая вероятность равна: $P = \frac{90}{101}$.
Ответ: $\frac{90}{101}$

б) среди его цифр есть хотя бы одна, которая больше двух
Удобнее найти вероятность противоположного события: «все цифры числа меньше или равны двум», а затем вычесть её из единицы. Найдём все числа из промежутка [100; 200], у которых все цифры принадлежат множеству $\{0, 1, 2\}$. 1. Для чисел в диапазоне от 100 до 199 первая цифра всегда 1. Вторая и третья цифры могут быть 0, 1 или 2. Количество таких комбинаций для второй и третьей цифры равно $3 \times 3 = 9$. Это числа: 100, 101, 102, 110, 111, 112, 120, 121, 122. 2. Число 200. Его цифры (2, 0, 0) также удовлетворяют условию. Итого, всего $9 + 1 = 10$ чисел, у которых все цифры не больше двух. Тогда количество чисел, у которых есть хотя бы одна цифра больше двух, равно $m = 101 - 10 = 91$. Искомая вероятность: $P = \frac{91}{101}$.
Ответ: $\frac{91}{101}$

в) оно не является квадратом другого целого числа
Найдём количество чисел в промежутке [100; 200], которые являются полными квадратами целых чисел. Пусть $k$ — целое число. Мы ищем $k^2$ такие, что $100 \le k^2 \le 200$. Извлекая квадратный корень из неравенства, получаем $10 \le k \le \sqrt{200}$. Поскольку $14^2 = 196$ и $15^2 = 225$, то $k$ может принимать целые значения от 10 до 14 включительно. Это значения $k$: 10, 11, 12, 13, 14. Соответствующие им квадраты: $10^2 = 100$, $11^2 = 121$, $12^2 = 144$, $13^2 = 169$, $14^2 = 196$. Всего 5 таких чисел. Количество чисел, которые не являются квадратами, равно $m = 101 - 5 = 96$. Вероятность этого события: $P = \frac{96}{101}$.
Ответ: $\frac{96}{101}$

г) сумма его цифр меньше 17
Найдём вероятность противоположного события: «сумма цифр числа больше или равна 17». Рассмотрим числа из промежутка [100; 200]. 1. Для числа 200 сумма цифр равна $2+0+0=2$, что меньше 17. 2. Для чисел вида $1bc$ (от 100 до 199) сумма цифр равна $1+b+c$. Ищем числа, для которых $1+b+c \ge 17$, то есть $b+c \ge 16$. Рассмотрим возможные суммы для цифр $b$ и $c$:

• Если $b+c = 16$, то возможны пары $(b, c)$: (7, 9), (8, 8), (9, 7). Это даёт числа: 179, 188, 197 (3 числа).
• Если $b+c = 17$, то возможны пары $(b, c)$: (8, 9), (9, 8). Это даёт числа: 189, 198 (2 числа).
• Если $b+c = 18$, то возможна пара $(b, c)$: (9, 9). Это даёт число: 199 (1 число).

Всего чисел, у которых сумма цифр больше или равна 17, получается $3+2+1 = 6$. Следовательно, количество чисел, у которых сумма цифр меньше 17, равно $m = 101 - 6 = 95$. Вероятность этого события: $P = \frac{95}{101}$.
Ответ: $\frac{95}{101}$