Страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

19.7 В сводной таблице распределения данных некоторого измерения оказались пустые места. Заполните их.

Варианта Сумма

№ 1 № 2 № 3 № 4

Кратность 5

Частота 0,45 0,1

Частота, % 25 20

Для заполнения пустых ячеек таблицы необходимо использовать основные определения и формулы из статистики. Введем обозначения:

• $n_i$ — кратность (абсолютная частота) варианты $i$;

• $N$ — объем выборки (общее количество измерений, равное сумме всех кратностей);

• $p_i$ — частота (относительная частота) варианты $i$;

• $p_i\%$ — частота варианты $i$ в процентах.

Эти величины связаны следующими соотношениями:

$p_i = \frac{n_i}{N}$

$p_i\% = p_i \times 100\% = \frac{n_i}{N} \times 100\%$

Сумма всех кратностей равна объему выборки ($\sum n_i = N$), сумма всех относительных частот равна 1 ($\sum p_i = 1$), а сумма всех относительных частот в процентах равна 100 ($\sum p_i\% = 100$).

1. Нахождение общего объема выборки ($N$)

Для нахождения общего объема выборки $N$ используем данные для Варианты № 2, по которой известны и кратность ($n_2 = 5$), и частота в процентах ($p_2\% = 25\%$).

Подставим эти значения в формулу для частоты в процентах:

$p_2\% = \frac{n_2}{N} \times 100\%$

$25 = \frac{5}{N} \times 100$

Решим полученное уравнение относительно $N$:

$25 \cdot N = 5 \times 100$

$25N = 500$

$N = \frac{500}{25} = 20$

Ответ: Общий объем выборки $N = 20$. Это значение соответствует сумме всех кратностей.

2. Расчет недостающих значений в таблице

Зная объем выборки $N=20$, мы можем последовательно рассчитать все остальные неизвестные значения.

Варианта № 1

Дано: частота $p_1 = 0,45$.

Вычисляем кратность $n_1$: $n_1 = p_1 \times N = 0,45 \times 20 = 9$.

Вычисляем частоту в процентах $p_1\%$: $p_1\% = p_1 \times 100\% = 0,45 \times 100\% = 45\%$.

Ответ: Кратность: 9, Частота, %: 45.

Варианта № 2

Дано: кратность $n_2 = 5$ и частота в процентах $p_2\% = 25\%$.

Вычисляем частоту $p_2$: $p_2 = \frac{n_2}{N} = \frac{5}{20} = 0,25$.

Ответ: Частота: 0,25.

Варианта № 3

Дано: частота $p_3 = 0,1$.

Вычисляем кратность $n_3$: $n_3 = p_3 \times N = 0,1 \times 20 = 2$.

Вычисляем частоту в процентах $p_3\%$: $p_3\% = p_3 \times 100\% = 0,1 \times 100\% = 10\%$.

Ответ: Кратность: 2, Частота, %: 10.

Варианта № 4

Дано: частота в процентах $p_4\% = 20\%$.

Вычисляем частоту $p_4$: $p_4 = \frac{p_4\%}{100} = \frac{20}{100} = 0,2$.

Вычисляем кратность $n_4$: $n_4 = p_4 \times N = 0,2 \times 20 = 4$.

Ответ: Кратность: 4, Частота: 0,2.

3. Заполнение столбца «Сумма»

Заполним итоговый столбец, просуммировав значения в каждой строке. Это также послужит проверкой правильности вычислений.

Сумма кратностей: $n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 9 + 5 + 2 + 4 = 20$.

Сумма частот: $p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 0,45 + 0,25 + 0,1 + 0,2 = 1,00$.

Сумма частот, %: $p_1\% + p_2\% + p_3\% + p_4\% = 45 + 25 + 10 + 20 = 100\%$.

Ответ: Сумма для строки «Кратность» равна 20, для строки «Частота» — 1, для строки «Частота, %» — 100.

Итоговая заполненная таблица:

19.8 По приведённому многоугольнику кратностей данных (рис. 55) определите:

Рис. 55

а) количество вариант измерения;

б) объём измерения;

в) моду измерения;

г) медиану измерения.

а) количество вариант измерения;
Количество вариант измерения – это число различных значений, которые принимала измеряемая величина. На графике они отмечены на горизонтальной оси как точки, для которых указана кратность. Это значения: 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10. Всего на графике 7 точек, что соответствует 7 различным вариантам измерения.
Ответ: 7.

б) объём измерения;
Объём измерения – это общее количество всех проведённых измерений. Он равен сумме всех кратностей (частот), которые указаны на вертикальной оси для каждой варианты. Определим кратности для каждой варианты по графику:
Кратность варианты 2 равна 9.
Кратность варианты 3 равна 8.
Кратность варианты 5 равна 10.
Кратность варианты 6 равна 5.
Кратность варианты 7 равна 4.
Кратность варианты 8 равна 5.
Кратность варианты 10 равна 9.
Сложим все кратности, чтобы найти объём измерения: $9 + 8 + 10 + 5 + 4 + 5 + 9 = 50$.
Ответ: 50.

в) моду измерения;
Мода измерения – это варианта, которая встречается чаще всего, то есть имеет наибольшую кратность. На графике это соответствует самой высокой точке. Максимальная кратность равна 10, и она соответствует варианте 5.
Ответ: 5.

г) медиану измерения.
Медиана – это значение, которое делит упорядоченный по возрастанию ряд данных на две равные части. Объём измерения равен 50 (чётное число). В этом случае медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов ряда. Номера этих элементов: $N/2$ и $N/2 + 1$.
$50 / 2 = 25$.
$50 / 2 + 1 = 26$.
Нам нужно найти 25-е и 26-е значения в упорядоченном ряду. Для этого посмотрим на накопленные частоты:
- Первые 9 значений в ряду – это 2.
- Следующие 8 значений (с 10-го по 17-е) – это 3 (накопленная частота $9+8=17$).
- Следующие 10 значений (с 18-го по 27-е) – это 5 (накопленная частота $17+10=27$).
Оба элемента, 25-й и 26-й, попадают в группу, где значение варианты равно 5. Таким образом, 25-е значение равно 5, и 26-е значение равно 5. Медиана вычисляется как среднее арифметическое этих двух значений: $M_e = \frac{5 + 5}{2} = 5$.
Ответ: 5.

19.9 У 25 девятиклассников спросили, сколько часов в день они обычно смотрят телевизор. Вот что получилось:

Определите:

а) размах;

б) моду;

в) среднее значение;

г) медиану.

а) размах
Размах ряда данных – это разность между наибольшим и наименьшим значениями этого ряда. В данном ряду представлены значения часов, которые школьники смотрят телевизор: 0, 1, 2, 3 и 4 часа.
Наибольшее значение: $x_{max} = 4$ ч.
Наименьшее значение: $x_{min} = 0$ ч.
Вычисляем размах: $x_{max} - x_{min} = 4 - 0 = 4$.
Ответ: 4.

б) мода
Мода ряда данных – это значение, которое встречается в этом ряду чаще всего. Чтобы найти моду, нужно посмотреть на строку "Число школьников" и найти самое большое число.
Самое большое число школьников — 10. Этому числу соответствует значение 2 часа в день.
Следовательно, мода данного ряда равна 2.
Ответ: 2.

в) среднее значение
Среднее значение (или среднее арифметическое) – это сумма всех значений, деленная на их количество. Для данных, представленных в виде частотной таблицы, необходимо умножить каждое значение на его частоту (число школьников), сложить полученные произведения и разделить на общее число школьников.
Общее число школьников: $1 + 9 + 10 + 4 + 1 = 25$.
Суммарное количество часов, которое все школьники смотрят телевизор:
$(0 \cdot 1) + (1 \cdot 9) + (2 \cdot 10) + (3 \cdot 4) + (4 \cdot 1) = 0 + 9 + 20 + 12 + 4 = 45$ часов.
Среднее значение: $\frac{45}{25} = 1.8$ часа.
Ответ: 1.8.

г) медиана
Медиана – это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных.
Всего в опросе участвовало 25 школьников ($n=25$). Так как число элементов нечетное, медиана будет равна значению элемента, стоящего на месте с номером $\frac{n+1}{2}$.
Номер медианного элемента: $\frac{25+1}{2} = \frac{26}{2} = 13$.
Теперь найдем, какому значению соответствует 13-й по порядку школьник в упорядоченном списке.
- 1-й школьник смотрит ТВ 0 часов.
- Следующие 9 школьников (со 2-го по 10-й) смотрят ТВ 1 час.
- Следующие 10 школьников (с 11-го по 20-й) смотрят ТВ 2 часа.
Поскольку 13-й номер попадает в интервал с 11-го по 20-й, то медианное значение равно 2 часам.
Ответ: 2.