Страница 122, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

18.8 В книжке-раскраске нарисованы непересекающиеся треугольник, квадрат и круг. Каждую фигуру надо раскрасить в один из цветов радуги, разные фигуры — в разные цвета.

а) Сколько существует способов раскрашивания?

б) Сколько среди них способов, при которых круг оранжевый?

в) Сколько среди них способов, при которых треугольник не красный?

г) Сколько существует способов раскрашивания в холодные цвета?

Для решения задачи воспользуемся основами комбинаторики. У нас есть 3 различные фигуры (треугольник, квадрат, круг) и 7 цветов радуги (красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый). По условию, каждую фигуру нужно раскрасить в один из цветов, причем цвета не должны повторяться.

а) Сколько существует способов раскрашивания?

Нам нужно выбрать 3 разных цвета из 7 и присвоить их 3 разным фигурам. Порядок выбора важен, так как от него зависит, какая фигура какой цвет получит (например, красный треугольник и синий квадрат — это не то же самое, что синий треугольник и красный квадрат). Такие комбинации называются размещениями.
Для первой фигуры есть 7 вариантов цвета.
Для второй фигуры останется $7-1=6$ вариантов цвета.
Для третьей фигуры останется $6-1=5$ вариантов цвета.
Общее число способов находится перемножением вариантов для каждой фигуры:
$N = 7 \times 6 \times 5 = 210$.
Это число размещений из 7 по 3, которое вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае:
$A_7^3 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210$.
Ответ: 210.

б) Сколько среди них способов, при которых круг оранжевый?

В этом случае цвет одной фигуры (круга) уже определен — он оранжевый. У нас остаётся 2 фигуры (треугольник и квадрат) и $7-1=6$ свободных цветов (все, кроме оранжевого).
Для первой из оставшихся фигур (например, треугольника) есть 6 вариантов выбора цвета.
Для последней фигуры (квадрата) остается $6-1=5$ вариантов.
Общее число таких способов:
$N = 1 \times 6 \times 5 = 30$.
Это число размещений из 6 по 2: $A_6^2 = 6 \times 5 = 30$.
Ответ: 30.

в) Сколько среди них способов, при которых треугольник не красный?

Можно решить задачу, вычислив общее число способов и вычтя из него те, в которых треугольник красный (метод от противного).
Общее число способов, как мы нашли в пункте а), равно 210.
Теперь найдем число способов, при которых треугольник красный. Это аналогично задаче из пункта б): цвет одной фигуры фиксирован. Остается 2 фигуры и 6 цветов. Число таких способов равно $A_6^2 = 6 \times 5 = 30$.
Следовательно, число способов, при которых треугольник не красный, равно разности:
$N = 210 - 30 = 180$.
Другой способ — прямой подсчет: для треугольника есть $7-1=6$ вариантов цвета (все, кроме красного). Для второй фигуры остается 6 вариантов (один цвет занят треугольником), для третьей — 5. Итого: $6 \times 6 \times 5 = 180$.
Ответ: 180.

г) Сколько существует способов раскрашивания в холодные цвета?

К холодным цветам радуги относятся 3 цвета: голубой, синий и фиолетовый.
Нам нужно раскрасить 3 фигуры, используя только эти 3 цвета. Поскольку все фигуры должны быть разного цвета, мы должны использовать все 3 холодных цвета — по одному на каждую фигуру.
Задача сводится к нахождению числа способов, которыми можно распределить 3 цвета между 3 фигурами. Это число перестановок из 3 элементов.
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Ответ: 6.

18.9 На координатной плоскости отмечены все точки, абсциссы и ординаты которых равны одному из следующих чисел: $-3, -1, 1, 2, 7$ (повторения допускаются).

а) Сколько всего таких точек?

б) Сколько точек лежит левее оси ординат?

в) Сколько точек лежит выше оси абсцисс?

г) Сколько точек лежит в круге радиусом $5$ с центром в начале координат?

а) В задаче дано множество чисел, из которых могут состоять абсциссы и ординаты точек: $\{-3, -1, 1, 2, 7\}$. Всего в этом множестве 5 чисел. Абсцисса точки (координата $x$) может быть выбрана 5 способами. Ордината точки (координата $y$) также может быть выбрана 5 способами. Поскольку выбор абсциссы и ординаты является независимым, общее количество возможных точек находится как произведение числа вариантов для каждой координаты. Таким образом, общее количество точек равно $5 \times 5 = 25$.
Ответ: 25.

б) Точка лежит левее оси ординат (оси $y$), если её абсцисса (координата $x$) является отрицательным числом. Из данного множества $\{-3, -1, 1, 2, 7\}$ отрицательными являются два числа: $-3$ и $-1$. Таким образом, для абсциссы есть 2 варианта. Ордината (координата $y$) может быть любым из 5 чисел в множестве. Следовательно, количество точек, лежащих левее оси ординат, равно произведению числа вариантов для абсциссы и ординаты: $2 \times 5 = 10$.
Ответ: 10.

в) Точка лежит выше оси абсцисс (оси $x$), если её ордината (координата $y$) является положительным числом. Из данного множества $\{-3, -1, 1, 2, 7\}$ положительными являются три числа: $1, 2$ и $7$. Таким образом, для ординаты есть 3 варианта. Абсцисса (координата $x$) может быть любым из 5 чисел в множестве. Следовательно, количество точек, лежащих выше оси абсцисс, равно $5 \times 3 = 15$.
Ответ: 15.

г) Точка с координатами $(x, y)$ лежит в круге радиусом $R=5$ с центром в начале координат, если выполняется условие $x^2 + y^2 \le R^2$, то есть $x^2 + y^2 \le 25$. Рассмотрим квадраты чисел из заданного множества: $(-3)^2=9$, $(-1)^2=1$, $1^2=1$, $2^2=4$, $7^2=49$. Если в координатах точки присутствует число 7 (или -7, но его нет в списке), то квадрат этой координаты будет равен 49. Тогда сумма $x^2 + y^2$ будет не меньше 49, что нарушает условие $x^2 + y^2 \le 25$. Значит, ни абсцисса, ни ордината искомых точек не могут быть равны 7. Мы должны выбирать координаты только из подмножества $\{-3, -1, 1, 2\}$. В этом подмножестве 4 числа. Давайте проверим, все ли комбинации из этого подмножества подходят. Максимальное значение квадрата координаты из этого подмножества равно $(-3)^2=9$. Максимально возможная сумма квадратов будет $9+9=18$ (для точки $(-3, -3)$). Поскольку $18 \le 25$, любая точка, обе координаты которой выбраны из множества $\{-3, -1, 1, 2\}$, будет лежать в заданном круге. Количество вариантов для абсциссы $x$ равно 4, и количество вариантов для ординаты $y$ также равно 4. Общее число таких точек равно $4 \times 4 = 16$.
Ответ: 16.

18.10 Известно, что $x = 2^a 3^b 5^c$ и $a, b, c$ — числа из множества $\{0, 1, 2, 3\}$ (совпадения допускаются).

a) Найдите наименьшее и наибольшее значения числа $x$.

б) Сколько всего таких чисел можно составить?

в) Сколько среди них будет чётных чисел?

г) Сколько среди них будет чисел, оканчивающихся нулём?

а) Найдите наименьшее и наибольшее значения числа x.

Число $x$ задано формулой $x = 2^a 3^b 5^c$, где показатели степеней $a, b, c$ могут принимать значения из множества $\{0, 1, 2, 3\}$.

Для нахождения наименьшего значения $x$ необходимо взять наименьшие возможные значения для показателей степеней, так как основания 2, 3 и 5 больше единицы. Наименьшие значения для $a, b$ и $c$ равны 0.

$x_{наим} = 2^0 \cdot 3^0 \cdot 5^0 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

Для нахождения наибольшего значения $x$ необходимо взять наибольшие возможные значения для показателей степеней. Наибольшие значения для $a, b$ и $c$ равны 3.

$x_{наиб} = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 27 \cdot 125 = 216 \cdot 125 = 27000$.

Ответ: наименьшее значение $x=1$, наибольшее значение $x=27000$.

б) Сколько всего таких чисел можно составить?

Каждое число $x$ однозначно определяется набором показателей $(a, b, c)$. Поскольку 2, 3 и 5 — простые числа, разным наборам показателей соответствуют разные числа $x$ (согласно основной теореме арифметики).

Показатель $a$ можно выбрать 4 способами (из множества $\{0, 1, 2, 3\}$).
Показатель $b$ можно выбрать 4 способами (из того же множества).
Показатель $c$ можно выбрать 4 способами.

Поскольку выборы независимы, общее количество возможных чисел $x$ равно произведению числа вариантов для каждого показателя (комбинаторное правило умножения):

$N = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3 = 64$.

Ответ: 64.

в) Сколько среди них будет чётных чисел?

Число является чётным, если оно делится на 2. В разложении на простые множители $x = 2^a 3^b 5^c$ это означает, что показатель степени у двойки должен быть не меньше 1.

Таким образом, для показателя $a$ возможны значения из множества $\{1, 2, 3\}$, то есть 3 варианта.

Для показателей $b$ и $c$ ограничения отсутствуют, поэтому для каждого из них по-прежнему 4 варианта выбора из множества $\{0, 1, 2, 3\}$.

Общее количество чётных чисел равно:

$N_{чётн} = 3 \cdot 4 \cdot 4 = 48$.

Ответ: 48.

г) Сколько среди них будет чисел, оканчивающихся нулём?

Число оканчивается нулём, если оно делится на 10. Так как $10 = 2 \cdot 5$, для делимости на 10 необходимо, чтобы в разложении числа на простые множители присутствовали и 2, и 5.

Это означает, что показатель степени у двойки ($a$) и показатель степени у пятёрки ($c$) должны быть не меньше 1.

Возможные значения для $a$: $\{1, 2, 3\}$ (3 варианта).
Возможные значения для $c$: $\{1, 2, 3\}$ (3 варианта).
Для показателя $b$ ограничений нет, поэтому для него возможно 4 варианта: $\{0, 1, 2, 3\}$.

Общее количество таких чисел равно:

$N_{..0} = 3 \cdot 4 \cdot 3 = 36$.

Ответ: 36.

18.11 a) $7!$;

б) $8!$;

в) $6! - 5!$;

г) $\frac{5!}{5}$.

а) Факториал числа $n$ (обозначается как $n!$) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно. Для вычисления $7!$ необходимо перемножить все натуральные числа от 1 до 7.

$7! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7$

Зная, что $6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$, можно упростить вычисление:

$7! = 6! \cdot 7 = 720 \cdot 7 = 5040$

Ответ: 5040

б) Для вычисления $8!$ нужно перемножить все натуральные числа от 1 до 8. Удобнее всего использовать уже известный результат для $7!$.

$8! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 7! \cdot 8$

Подставим значение $7! = 5040$, вычисленное в предыдущем пункте:

$8! = 5040 \cdot 8 = 40320$

Ответ: 40320

в) Для решения выражения $6! - 5!$ необходимо сначала вычислить значения каждого факториала.

$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

$6! = 5! \cdot 6 = 120 \cdot 6 = 720$

Теперь выполним вычитание:

$6! - 5! = 720 - 120 = 600$

Альтернативный способ решения — вынесение общего множителя $5!$ за скобки. Представим $6!$ как $6 \cdot 5!$:

$6! - 5! = (6 \cdot 5!) - 5! = 5! \cdot (6 - 1) = 5! \cdot 5 = 120 \cdot 5 = 600$

Ответ: 600

г) Для вычисления значения дроби $\frac{5!}{5}$, можно расписать факториал в числителе и выполнить сокращение.

$\frac{5!}{5} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{5}$

Сократив число 5 в числителе и знаменателе, получим произведение оставшихся чисел, которое равно $4!$:

$\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cancel{5}}{\cancel{5}} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 4!$

Вычислим полученное значение:

$4! = 24$

Ответ: 24

18.12 a)

$\frac{10!}{5!};$

б) $\frac{11!}{5! \cdot 6!};$

в) $\frac{51!}{49!};$

г) $\frac{14!}{7! \cdot 3! \cdot 4!}.$

a)

Чтобы вычислить значение выражения $\frac{10!}{5!}$, воспользуемся определением факториала: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$. Представим числитель $10!$ как $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!$.

$\frac{10!}{5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!}$

Сократив $5!$ в числителе и знаменателе, получим произведение:

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 90 \cdot 8 \cdot 42 = 720 \cdot 42 = 30240$.

Ответ: $30240$.

б)

Для вычисления выражения $\frac{11!}{5! \cdot 6!}$ представим $11!$ как $11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!$, чтобы сократить его с наибольшим факториалом в знаменателе.

$\frac{11!}{5! \cdot 6!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{5! \cdot 6!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5!}$

Теперь раскроем $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ и выполним сокращения:

$\frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot \frac{10}{5 \cdot 2} \cdot \frac{9}{3} \cdot \frac{8}{4} \cdot 7 = 11 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 = 462$.

Ответ: $462$.

в)

Для вычисления $\frac{51!}{49!}$ представим $51!$ как $51 \cdot 50 \cdot 49!$.

$\frac{51!}{49!} = \frac{51 \cdot 50 \cdot 49!}{49!}$

Сократив $49!$, получим:

$51 \cdot 50 = 2550$.

Ответ: $2550$.

г)

Чтобы вычислить $\frac{14!}{7! \cdot 3! \cdot 4!}$, представим $14!$ в виде произведения, включающего $7!$ для сокращения с наибольшим факториалом в знаменателе.

$\frac{14!}{7! \cdot 3! \cdot 4!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 3! \cdot 4!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{3! \cdot 4!}$

Раскроем оставшиеся факториалы в знаменателе: $3! = 6$ и $4! = 24$.

$\frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{6 \cdot 24}$

Теперь выполним сокращения. Сократим $12$ на $6$, получим $2$. Сократим $24$ на $8$, получим $3$ в знаменателе.

$\frac{14 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{3}$

Сократим $9$ на $3$, получим $3$.

$14 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 3 = 182 \cdot 22 \cdot 30 = 182 \cdot 660 = 120120$.

Ответ: $120120$.

18.13 Делится ли $11!$ на:

а) 64;

б) 25;

в) 81;

г) 49?

Чтобы определить, делится ли факториал числа $11$ ($11!$) на заданные числа, необходимо проанализировать их разложения на простые множители. Число $A$ делится на число $B$, если все простые множители числа $B$ содержатся в разложении числа $A$ в степени, не меньшей, чем в разложении $B$.

Представим $11!$ как произведение: $11! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11$.

а) 64;

Разложим число $64$ на простые множители: $64 = 2^6$.

Теперь нужно определить, в какой степени простой множитель $2$ входит в разложение $11!$. Для этого найдем все сомножители в $11!$, которые делятся на $2$: это $2, 4, 6, 8, 10$.

Разложим их на множители: $2 = 2^1$ $4 = 2^2$ $6 = 2 \cdot 3$ $8 = 2^3$ $10 = 2 \cdot 5$

Суммарная степень двойки в разложении $11!$ равна $1+2+1+3+1=8$. Таким образом, $11!$ содержит множитель $2^8$.

Поскольку степень двойки в разложении $11!$ (равная $8$) больше степени двойки в разложении $64$ (равная $6$), то $11!$ делится на $64$.

Ответ: да

б) 25;

Разложим число $25$ на простые множители: $25 = 5^2$.

Чтобы $11!$ делилось на $25$, в его разложении на простые множители должно быть как минимум две пятерки. Посчитаем, сколько раз множитель $5$ встречается в произведении $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 11$.

Множитель $5$ содержат числа $5$ и $10$: $5 = 5^1$ (одна пятерка). $10 = 2 \cdot 5^1$ (одна пятерка).

Общее количество пятерок в разложении $11!$ равно $1+1=2$. Следовательно, в разложение $11!$ входит множитель $5^2$.

Так как степень пятерки в разложении $11!$ совпадает со степенью в разложении $25$ (обе равны $2$), $11!$ делится на $25$.

Ответ: да

в) 81;

Разложим число $81$ на простые множители: $81 = 3^4$.

Чтобы $11!$ делилось на $81$, в его разложении на простые множители должно быть как минимум четыре тройки. Посчитаем, сколько раз множитель $3$ встречается в произведении $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 11$.

Множитель $3$ содержат числа $3, 6, 9$: $3 = 3^1$ (одна тройка). $6 = 2 \cdot 3^1$ (одна тройка). $9 = 3^2$ (две тройки).

Общее количество троек в разложении $11!$ равно $1+1+2=4$. Следовательно, в разложение $11!$ входит множитель $3^4$.

Так как степень тройки в разложении $11!$ совпадает со степенью в разложении $81$ (обе равны $4$), $11!$ делится на $81$.

Ответ: да

г) 49?

Разложим число $49$ на простые множители: $49 = 7^2$.

Чтобы $11!$ делилось на $49$, в его разложении на простые множители должно быть как минимум две семерки. Посчитаем, сколько раз множитель $7$ встречается в произведении $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 11$.

Среди чисел от 1 до 11 на $7$ делится только само число $7$. Следующее число, кратное $7$, это $14$, которое не входит в $11!$. Таким образом, в разложении $11!$ на простые множители число $7$ встречается только один раз ($7^1$).

Поскольку степень семерки в разложении $11!$ (равная $1$) меньше, чем в разложении $49$ (равная $2$), то $11!$ не делится на $49$.

Ответ: нет