Страница 123, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

18.14 Сократите дробь:

а) $\frac{n!}{(n - 1)!}$;

б) $\frac{(2k + 1)!}{(2k - 1)!}$;

в) $\frac{n!}{2! \cdot (n - 2)!}$;

г) $\frac{(4m - 1)!}{(4m - 3)!}$.

а)

Для сокращения дроби воспользуемся определением факториала: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$.

Можно заметить, что $n!$ можно представить как $n \cdot (n-1)!$.

Подставим это выражение в числитель дроби:

$\frac{n!}{(n-1)!} = \frac{n \cdot (n-1)!}{(n-1)!}$

Сократим одинаковые множители $(n-1)!$ в числителе и знаменателе:

$\frac{n \cdot \cancel{(n-1)!}}{\cancel{(n-1)!}} = n$

Ответ: $n$

б)

Используем тот же подход. Распишем факториал в числителе до тех пор, пока не появится факториал, стоящий в знаменателе.

$(2k+1)! = (2k+1) \cdot (2k) \cdot (2k-1)!$

Подставим это в исходную дробь:

$\frac{(2k+1)!}{(2k-1)!} = \frac{(2k+1) \cdot (2k) \cdot (2k-1)!}{(2k-1)!}$

Сократим дробь на $(2k-1)!$:

$\frac{(2k+1) \cdot (2k) \cdot \cancel{(2k-1)!}}{\cancel{(2k-1)!}} = (2k+1) \cdot (2k) = 2k(2k+1)$

Ответ: $2k(2k+1)$

в)

В этой задаче нужно сократить дробь $\frac{n!}{2! \cdot (n-2)!}$.

Сначала распишем факториал в числителе: $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!$.

Также вычислим значение $2!$ в знаменателе: $2! = 1 \cdot 2 = 2$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{n!}{2! \cdot (n-2)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{2 \cdot (n-2)!}$

Теперь сократим общий множитель $(n-2)!$:

$\frac{n \cdot (n-1) \cdot \cancel{(n-2)!}}{2 \cdot \cancel{(n-2)!}} = \frac{n(n-1)}{2}$

Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$

г)

Рассмотрим дробь $\frac{(4m-1)!}{(4m-3)!}$.

Числитель $(4m-1)!$ можно представить через знаменатель $(4m-3)!$ следующим образом:

$(4m-1)! = (4m-1) \cdot (4m-2) \cdot (4m-3)!$

Подставим это выражение в дробь:

$\frac{(4m-1)!}{(4m-3)!} = \frac{(4m-1) \cdot (4m-2) \cdot (4m-3)!}{(4m-3)!}$

Сократим дробь на $(4m-3)!$:

$\frac{(4m-1) \cdot (4m-2) \cdot \cancel{(4m-3)!}}{\cancel{(4m-3)!}} = (4m-1)(4m-2)$

Ответ: $(4m-1)(4m-2)$

18.15 Решите в натуральных числах уравнение:

а) $n! = 7(n - 1)!;$

б) $(m + 17)! = 420(m + 15)!;$

в) $(k - 10)! = 77(k - 11)!;$

г) $(3x)! = 504(3x - 3)!.$

а) $n! = 7(n - 1)!$

По определению факториала $n! = n \cdot (n - 1)!$. Уравнение можно переписать в виде:

$n \cdot (n - 1)! = 7(n - 1)!$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Следовательно, $(n-1)!$ определен и не равен нулю, поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $(n-1)!$:

$n = 7$

Число 7 является натуральным, поэтому это решение нам подходит.

Ответ: $n=7$

б) $(m + 17)! = 420(m + 15)!$

Используем свойство факториала: $(m + 17)! = (m + 17) \cdot (m + 16) \cdot (m + 15)!$. Подставим это в исходное уравнение:

$(m + 17)(m + 16)(m + 15)! = 420(m + 15)!$

Так как $m$ — натуральное число, $m \ge 1$, то $(m+15)!$ определен и не равен нулю. Разделим обе части на $(m+15)!$:

$(m + 17)(m + 16) = 420$

Мы ищем два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 420. Оценим корень из 420: $\sqrt{420} \approx \sqrt{400} = 20$. Попробуем числа, близкие к 20. Проверим $20 \cdot 21$:

$20 \cdot 21 = 420$

Значит, $m+16 = 20$ и $m+17 = 21$. Из любого из этих равенств находим $m$:

$m + 16 = 20 \Rightarrow m = 4$

$m + 17 = 21 \Rightarrow m = 4$

Число 4 является натуральным.

Ответ: $m=4$

в) $(k - 10)! = 77(k - 11)!$

Для того чтобы факториалы были определены, аргументы должны быть неотрицательными целыми числами. Так как $k$ - натуральное число, нам нужно, чтобы $k-11 \ge 0$, то есть $k \ge 11$.

Используем свойство факториала: $(k - 10)! = (k - 10) \cdot (k - 11)!$.

$(k - 10)(k - 11)! = 77(k - 11)!$

При условии $k \ge 11$, $(k-11)!$ не равен нулю, поэтому можно разделить обе части на него:

$k - 10 = 77$

$k = 87$

Найденное значение $k=87$ удовлетворяет условию $k \ge 11$ и является натуральным числом.

Ответ: $k=87$

г) $(3x)! = 504(3x - 3)!$

Переменная $x$ — натуральное число, значит $x \ge 1$. Убедимся, что аргументы факториалов неотрицательны: $3x \ge 3$ и $3x-3 \ge 0$. Оба условия выполняются при $x \ge 1$.

Применим свойство факториала несколько раз: $(3x)! = (3x) \cdot (3x - 1) \cdot (3x - 2) \cdot (3x - 3)!$.

$(3x)(3x - 1)(3x - 2)(3x - 3)! = 504(3x - 3)!$

Так как $(3x - 3)!$ не равно нулю, делим обе части уравнения на него:

$(3x)(3x - 1)(3x - 2) = 504$

Мы получили произведение трех последовательных целых чисел, равное 504. Оценим корень кубический из 504: $\sqrt[3]{504}$. Мы знаем, что $7^3 = 343$ и $8^3 = 512$. Значит, числа близки к 8. Проверим произведение чисел 7, 8, 9:

$7 \cdot 8 \cdot 9 = 56 \cdot 9 = 504$

Следовательно, три последовательных числа это 9, 8 и 7. Самое большое из них $3x$.

$3x = 9$

$x = 3$

Число 3 является натуральным, поэтому это и есть решение.

Ответ: $x=3$

18.16 К хозяину дома пришли гости $A, B, C, D$. За круглым столом — пять разных стульев.

а) Сколько существует способов рассаживания?

б) Сколько существует способов рассаживания, если место хозяина дома уже известно?

в) Сколько существует способов рассаживания, если известно, что гостя $C$ следует посадить рядом с гостем $A$?

г) Сколько существует способов рассаживания, если известно, что гостя $A$ не следует сажать рядом с гостем $D$?

а) Сколько существует способов рассаживания?

Всего 5 человек (хозяин и 4 гостя: A, B, C, D), которых нужно рассадить на 5 разных стульев. Поскольку стулья разные, каждая рассадка является уникальной перестановкой. Задача сводится к нахождению числа перестановок 5 различных объектов.
Количество способов рассадить $n$ человек на $n$ разных мест равно числу перестановок $n$ элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$.
В данном случае $n=5$.
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
Таким образом, существует 120 способов рассаживания.

Ответ: 120

б) Сколько существует способов рассаживания, если место хозяина дома уже известно?

Если место хозяина за столом зафиксировано, то нам остается рассадить 4 гостей (A, B, C, D) на оставшиеся 4 свободных стула.
Это задача о перестановках 4 различных объектов.
Количество способов равно $P_4 = 4!$.
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Следовательно, существует 24 способа рассаживания при известном месте хозяина.

Ответ: 24

в) Сколько существует способов рассаживания, если известно, что гостя C следует посадить рядом с гостем A?

Чтобы гости A и C сидели рядом, будем рассматривать их как единый блок (AC). Этот блок нужно разместить за столом вместе с остальными 3 людьми (хозяином, гостями B и D).
1. Сначала определим количество способов размещения блока (AC) за столом. Так как стол круглый, а стулья разные, существует 5 пар соседних стульев (стул 1 со стулом 2, 2 с 3, 3 с 4, 4 с 5 и 5 с 1). Таким образом, есть 5 вариантов выбора пары стульев для блока.
2. Внутри самого блока гостей A и C можно поменять местами (A слева от C, или C слева от A). Это дает $2! = 2$ варианта их взаимного расположения.
3. После того как A и C сели, остаются 3 человека (хозяин, B, D) и 3 свободных стула. Их можно рассадить $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ способами.
Общее количество способов найдем, перемножив количество вариантов на каждом шаге:
$N = 5 \times 2! \times 3! = 5 \times 2 \times 6 = 60$.
Значит, существует 60 способов рассадить гостей так, чтобы A и C сидели рядом.

Ответ: 60

г) Сколько существует способов рассаживания, если известно, что гостя А не следует сажать рядом с гостем D?

Эту задачу можно решить, используя метод от противного (комплементарный подсчет). Найдем общее число всех возможных рассаживаний и вычтем из него число тех рассаживаний, где A и D сидят рядом.
1. Общее количество способов рассаживания 5 человек на 5 стульях, как мы нашли в пункте (а), равно $5! = 120$.
2. Теперь найдем количество способов, при которых A и D сидят рядом. Этот расчет аналогичен пункту (в). Рассматриваем пару (AD) как единый блок.
- Количество способов выбрать пару соседних стульев: 5.
- Количество способов рассадить A и D внутри этой пары: $2! = 2$.
- Количество способов рассадить оставшихся 3 человек (хозяин, B, C) на оставшиеся 3 стула: $3! = 6$.
Число "запрещенных" рассаживаний (где A и D сидят рядом) равно: $5 \times 2 \times 6 = 60$.
3. Вычитаем из общего числа способов число "запрещенных":
$N = 120 - 60 = 60$.
Существует 60 способов рассадить гостей так, чтобы A и D не сидели рядом.

Ответ: 60

18.17 Из цифр 0, 2, 8, 9 составляют различные трёхзначные числа (повторения цифр допускаются).

а) Найдите наименьшее число.

б) Укажите все числа, которые меньше 250.

в) Укажите все нечётные числа, которые больше 900.

г) Укажите все числа, которые кратны 40.

а) Найдите наименьшее число.
Чтобы составить наименьшее трёхзначное число из цифр {0, 2, 8, 9}, нужно выбрать наименьшие возможные цифры для каждого разряда, начиная со старшего (сотни).
1. Разряд сотен: Первой цифрой трёхзначного числа не может быть 0. Наименьшая из оставшихся цифр {2, 8, 9} — это 2.
2. Разряд десятков: Так как повторения цифр допускаются, для второго разряда мы можем выбрать любую из данных цифр. Чтобы число было наименьшим, выбираем наименьшую возможную цифру — 0.
3. Разряд единиц: Аналогично, для третьего разряда выбираем наименьшую возможную цифру — 0.
Таким образом, наименьшее трёхзначное число, которое можно составить, — это 200.
Ответ: 200.

б) Укажите все числа, которые меньше 250.
Мы ищем трёхзначные числа из цифр {0, 2, 8, 9}, которые удовлетворяют условию $x < 250$.
1. Разряд сотен: Первая цифра не может быть 0. Чтобы число было меньше 250, первая цифра может быть только 2. Если бы она была 8 или 9, число было бы больше 250. Итак, первая цифра — 2.
2. Разряд десятков: Теперь рассмотрим вторую цифру. Число имеет вид $\overline{2bc}$. Чтобы число было меньше 250, вторая цифра (b) не может быть 8 или 9 (т.к. $280 > 250$ и $290 > 250$). Значит, вторая цифра может быть 0 или 2.
- Если вторая цифра 0, число имеет вид $\overline{20c}$. Третья цифра (c) может быть любой из {0, 2, 8, 9}. Получаем числа: 200, 202, 208, 209. Все они меньше 250.
- Если вторая цифра 2, число имеет вид $\overline{22c}$. Третья цифра (c) может быть любой из {0, 2, 8, 9}. Получаем числа: 220, 222, 228, 229. Все они меньше 250.
Объединяя все найденные числа, получаем полный список.
Ответ: 200, 202, 208, 209, 220, 222, 228, 229.

в) Укажите все нечётные числа, которые больше 900.
Мы ищем трёхзначные числа из цифр {0, 2, 8, 9}, которые являются нечётными и больше 900.
1. Условие "больше 900": Чтобы число было больше 900, его первая цифра (разряд сотен) должна быть 9.
2. Условие "нечётное": Чтобы число было нечётным, его последняя цифра (разряд единиц) должна быть нечётной. Из данных цифр {0, 2, 8, 9} нечётной является только 9.
3. Разряд десятков: Вторая цифра может быть любой из данных, так как на выполнение условий она не влияет. Возможные цифры для разряда десятков: {0, 2, 8, 9}.
Составляем числа, подставляя возможные цифры в разряд десятков: 909, 929, 989, 999.
Ответ: 909, 929, 989, 999.

г) Укажите все числа, которые кратны 40.
Число кратно 40, если оно одновременно кратно 10 и 4.
1. Кратность 10: Число должно оканчиваться на 0. Значит, последняя цифра (разряд единиц) равна 0. Число имеет вид $\overline{ab0}$.
2. Кратность 4: Число кратно 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, кратно 4. В нашем случае это число $\overline{b0}$. Проверим возможные значения для b из {0, 2, 8, 9}:
- Если b=0, то 00. $00 : 4 = 0$. Подходит.
- Если b=2, то 20. $20 : 4 = 5$. Подходит.
- Если b=8, то 80. $80 : 4 = 20$. Подходит.
- Если b=9, то 90. $90 : 4 = 22.5$. Не подходит.
Значит, вторая цифра (b) может быть 0, 2 или 8.
3. Разряд сотен (a): Первая цифра не может быть 0, значит, она может быть 2, 8 или 9.
Теперь скомбинируем возможные цифры для a и b:
- Если b=0, то числа $\overline{a00}$: 200 ($200:40=5$), 800 ($800:40=20$), 900 ($900:40=22.5$ - не подходит).
- Если b=2, то числа $\overline{a20}$: 220 ($220:40=5.5$ - не подходит), 820 ($820:40=20.5$ - не подходит), 920 ($920:40=23$).
- Если b=8, то числа $\overline{a80}$: 280 ($280:40=7$), 880 ($880:40=22$), 980 ($980:40=24.5$ - не подходит).
Собираем все подошедшие числа.
Ответ: 200, 280, 800, 880, 920.

18.18 На дне портфеля лежат неразличимые на ощупь карандаши: два простых и три цветных. Их вынимают по одному. Цветной оставляют на столе, а простой отправляют обратно на дно портфеля. Такая операция повторяется трижды.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов.

б) В скольких случаях все вынутые карандаши будут простыми?

в) В скольких случаях все вынутые карандаши будут цветными?

г) В скольких случаях среди вынутых карандашей цветных будет больше, чем простых?

Для решения задачи обозначим простой карандаш буквой П, а цветной — буквой Ц. Изначально в портфеле 2 простых и 3 цветных карандаша (2П, 3Ц).

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов.

Дерево вариантов показывает все возможные последовательности извлечения карандашей и изменение их количества в портфеле на каждом шаге. В скобках указано текущее количество карандашей (Простых, Цветных).

• Начальное состояние: (2П, 3Ц)
  • 1-й шаг: Вытянули П (2 способа). Карандаш возвращается. Состояние: (2П, 3Ц)
    • 2-й шаг: Вытянули П (2 способа). Карандаш возвращается. Состояние: (2П, 3Ц)
      • 3-й шаг: Вытянули П (2 способа). Итоговая последовательность: ППП.
      • 3-й шаг: Вытянули Ц (3 способа). Карандаш не возвращается. Итоговая последовательность: ППЦ.
    • 2-й шаг: Вытянули Ц (3 способа). Карандаш не возвращается. Состояние: (2П, 2Ц)
      • 3-й шаг: Вытянули П (2 способа). Карандаш возвращается. Итоговая последовательность: ПЦП.
      • 3-й шаг: Вытянули Ц (2 способа). Карандаш не возвращается. Итоговая последовательность: ПЦЦ.
  • 1-й шаг: Вытянули Ц (3 способа). Карандаш не возвращается. Состояние: (2П, 2Ц)
    • 2-й шаг: Вытянули П (2 способа). Карандаш возвращается. Состояние: (2П, 2Ц)
      • 3-й шаг: Вытянули П (2 способа). Карандаш возвращается. Итоговая последовательность: ЦПП.
      • 3-й шаг: Вытянули Ц (2 способа). Карандаш не возвращается. Итоговая последовательность: ЦПЦ.
    • 2-й шаг: Вытянули Ц (2 способа). Карандаш не возвращается. Состояние: (2П, 1Ц)
      • 3-й шаг: Вытянули П (2 способа). Карандаш возвращается. Итоговая последовательность: ЦЦП.
      • 3-й шаг: Вытянули Ц (1 способ). Карандаш не возвращается. Итоговая последовательность: ЦЦЦ.

б) В скольких случаях все вынутые карандаши будут простыми?

Этот исход соответствует последовательности ППП (простой, простой, простой).
На первом шаге есть 2 способа вытянуть простой карандаш. Он возвращается, и в портфеле снова 2 простых и 3 цветных карандаша.
На втором шаге снова есть 2 способа вытянуть простой карандаш.
На третьем шаге также 2 способа вытянуть простой карандаш.
Общее количество случаев — это произведение числа способов на каждом шаге: $2 \times 2 \times 2 = 8$.
Ответ: 8.

в) В скольких случаях все вынутые карандаши будут цветными?

Этот исход соответствует последовательности ЦЦЦ (цветной, цветной, цветной).
На первом шаге есть 3 способа вытянуть цветной карандаш. Он не возвращается, и в портфеле остается 2 простых и 2 цветных карандаша.
На втором шаге есть 2 способа вытянуть цветной карандаш. В портфеле остается 2 простых и 1 цветной.
На третьем шаге остается 1 способ вытянуть последний цветной карандаш.
Общее количество случаев: $3 \times 2 \times 1 = 6$.
Ответ: 6.

г) В скольких случаях среди вынутых карандашей цветных будет больше, чем простых?

Цветных карандашей будет больше, чем простых, если из трех вынутых карандашей будет либо 3 цветных и 0 простых, либо 2 цветных и 1 простой.
1. Случай, когда все 3 карандаша цветные (ЦЦЦ). Количество таких случаев было найдено в пункте в) и равно 6.
2. Случай, когда 2 карандаша цветные и 1 простой. Возможны три последовательности: ПЦЦ, ЦПЦ, ЦЦП. Рассчитаем количество случаев для каждой:
- Последовательность ПЦЦ: вытянули простой (2 способа, в портфеле 2П, 3Ц), затем цветной (3 способа, в портфеле 2П, 2Ц), затем еще один цветной (2 способа). Всего случаев: $2 \times 3 \times 2 = 12$.
- Последовательность ЦПЦ: вытянули цветной (3 способа, в портфеле 2П, 2Ц), затем простой (2 способа, в портфеле 2П, 2Ц), затем цветной (2 способа). Всего случаев: $3 \times 2 \times 2 = 12$.
- Последовательность ЦЦП: вытянули цветной (3 способа, в портфеле 2П, 2Ц), затем еще один цветной (2 способа, в портфеле 2П, 1Ц), затем простой (2 способа). Всего случаев: $3 \times 2 \times 2 = 12$.
Теперь сложим все полученные случаи:
(случаи для ЦЦЦ) + (случаи для ПЦЦ) + (случаи для ЦПЦ) + (случаи для ЦЦП) $= 6 + 12 + 12 + 12 = 42$.
Ответ: 42.