Страница 116, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

17.52 Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. р., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 к., во второй — 2 к., в третий — 4 к., в четвёртый — 8 к. и т. д. в течение 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько он отдал? Кто выиграл от этой сделки?

Сколько денег получил богач

По условию задачи, богач ежедневно в течение 30 дней получал по 100 тысяч рублей. Чтобы рассчитать общую полученную сумму, необходимо умножить ежедневный доход на количество дней:

$100\ 000 \text{ руб./день} \times 30 \text{ дней} = 3\ 000\ 000 \text{ руб.}$

Ответ: богач получил 3 000 000 рублей.

Сколько он отдал

Суммы, которые богач отдавал ежедневно, образуют геометрическую прогрессию: 1 к., 2 к., 4 к., 8 к. и так далее. Нам нужно найти сумму первых 30 членов этой прогрессии.

Параметры прогрессии:

• Первый член $b_1 = 1$ (копейка)
• Знаменатель прогрессии $q = 2$ (каждый день сумма удваивается)
• Количество членов $n = 30$ (дней)

Сумма $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим наши значения в формулу, чтобы найти общую сумму в копейках:

$S_{30} = \frac{1 \cdot (2^{30} - 1)}{2 - 1} = 2^{30} - 1$

Вычислим значение $2^{30}$:

$2^{10} = 1024$

$2^{30} = (2^{10})^3 = 1024^3 = 1\ 073\ 741\ 824$

Теперь найдем итоговую сумму в копейках:

$S_{30} = 1\ 073\ 741\ 824 - 1 = 1\ 073\ 741\ 823 \text{ копеек}$

Переведем эту сумму в рубли (в 1 рубле 100 копеек):

$1\ 073\ 741\ 823 \text{ коп.} \div 100 = 10\ 737\ 418,23 \text{ руб.}$

Ответ: богач отдал 10 737 418 рублей 23 копейки.

Кто выиграл от этой сделки

Для того чтобы определить победителя сделки, сравним полученные и отданные богачом суммы:

• Получено: $3\ 000\ 000$ рублей.
• Отдано: $10\ 737\ 418,23$ рублей.

Так как богач отдал значительно больше денег, чем получил, он проиграл в этой сделке. Его чистый убыток составил:

$10\ 737\ 418,23 \text{ руб.} - 3\ 000\ 000 \text{ руб.} = 7\ 737\ 418,23 \text{ руб.}$

Ответ: от сделки выиграл человек, который ее предложил, а богач проиграл, потеряв более 7,7 миллионов рублей.

17.53 Три числа составляют конечную геометрическую прогрессию. Если последнее число уменьшить на 16, то получится конечная арифметическая прогрессия. Найдите два последних числа, если первое равно 9.

Пусть искомые три числа, составляющие конечную геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Обозначим знаменатель этой прогрессии буквой $q$.

Согласно условию, первый член прогрессии $b_1 = 9$. Тогда остальные члены можно выразить через $b_1$ и $q$:
$b_1 = 9$
$b_2 = b_1 \cdot q = 9q$
$b_3 = b_1 \cdot q^2 = 9q^2$
Таким образом, исходная геометрическая прогрессия имеет вид: $9, 9q, 9q^2$.

По условию, если последнее число ($b_3$) уменьшить на 16, то новая последовательность чисел $9, 9q, 9q^2 - 16$ будет являться конечной арифметической прогрессией.

Основное свойство арифметической прогрессии заключается в том, что каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Для нашей новой последовательности это означает, что второй член $9q$ равен среднему арифметическому первого ($9$) и третьего ($9q^2 - 16$) членов:
$9q = \frac{9 + (9q^2 - 16)}{2}$

Решим это уравнение, чтобы найти значение $q$. Сначала умножим обе части на 2:
$18q = 9 + 9q^2 - 16$
Упростим правую часть:
$18q = 9q^2 - 7$
Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$9q^2 - 18q - 7 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = (-18)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-7) = 324 + 252 = 576$
Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:
$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$
$q_1 = \frac{-(-18) + 24}{2 \cdot 9} = \frac{18 + 24}{18} = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}$
$q_2 = \frac{-(-18) - 24}{2 \cdot 9} = \frac{18 - 24}{18} = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}$

Мы получили два возможных значения для знаменателя $q$. Следовательно, существуют два возможных набора чисел, удовлетворяющих условию задачи. Найдем два последних числа для каждого из случаев.

Случай 1: $q = \frac{7}{3}$
Находим второй и третий члены исходной геометрической прогрессии:
Второй член: $b_2 = 9 \cdot q = 9 \cdot \frac{7}{3} = 21$.
Третий член: $b_3 = 9 \cdot q^2 = 9 \cdot (\frac{7}{3})^2 = 9 \cdot \frac{49}{9} = 49$.
В этом случае два последних числа равны 21 и 49.

Случай 2: $q = -\frac{1}{3}$
Находим второй и третий члены исходной геометрической прогрессии:
Второй член: $b_2 = 9 \cdot q = 9 \cdot (-\frac{1}{3}) = -3$.
Третий член: $b_3 = 9 \cdot q^2 = 9 \cdot (-\frac{1}{3})^2 = 9 \cdot \frac{1}{9} = 1$.
В этом случае два последних числа равны -3 и 1.

Ответ: 21 и 49; или -3 и 1.

17.54 Сумма трёх чисел, составляющих конечную арифметическую прогрессию, равна 24. Если второе число увеличить на 1, а последнее на 14, то получится конечная геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

Обозначим три числа, составляющие конечную арифметическую прогрессию, как $a - d$, $a$ и $a + d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию задачи, сумма этих трёх чисел равна 24. Составим и решим уравнение:

$(a - d) + a + (a + d) = 24$

$3a = 24$

$a = 8$

Таким образом, второй член арифметической прогрессии равен 8. Сама последовательность имеет вид: $8 - d, 8, 8 + d$.

Далее, по условию, если второе число увеличить на 1, а последнее на 14, то получится конечная геометрическая прогрессия. Первое число при этом не изменяется. Новая последовательность чисел будет выглядеть так:

$b_1 = 8 - d$

$b_2 = 8 + 1 = 9$

$b_3 = (8 + d) + 14 = 22 + d$

Для членов геометрической прогрессии выполняется характеристическое свойство: квадрат среднего члена равен произведению крайних членов, то есть $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим полученные выражения в это равенство:

$9^2 = (8 - d)(22 + d)$

Решим это уравнение относительно $d$:

$81 = 176 + 8d - 22d - d^2$

$81 = 176 - 14d - d^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$d^2 + 14d + 81 - 176 = 0$

$d^2 + 14d - 95 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-95) = 196 + 380 = 576$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$.

Теперь найдем два возможных значения для разности $d$:

$d_1 = \frac{-14 + 24}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$d_2 = \frac{-14 - 24}{2} = \frac{-38}{2} = -19$

Условию задачи удовлетворяют два набора чисел, в зависимости от значения $d$.

1. При $d = 5$ исходные числа равны:

$a_1 = 8 - 5 = 3$

$a_2 = 8$

$a_3 = 8 + 5 = 13$

Получаем набор чисел: 3, 8, 13. Проверка: их сумма $3+8+13=24$. Новые числа $3, 8+1=9, 13+14=27$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 3.

2. При $d = -19$ исходные числа равны:

$a_1 = 8 - (-19) = 27$

$a_2 = 8$

$a_3 = 8 + (-19) = -11$

Получаем набор чисел: 27, 8, -11. Проверка: их сумма $27+8+(-11)=24$. Новые числа $27, 8+1=9, -11+14=3$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $1/3$.

Ответ: 3, 8, 13 или 27, 8, -11.

17.55 Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим числам прибавить соответственно 25, 27 и 1, то получатся три числа, являющиеся последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. Найдите седьмой член исходной геометрической прогрессии, если известно, что он меньше 1000.

Пусть первый член исходной геометрической прогрессии равен $b_1$, а её знаменатель равен $q$. Тогда первые три члена прогрессии имеют вид: $b_1$, $b_2 = b_1q$, $b_3 = b_1q^2$.

По условию, сумма первых трёх членов равна 91. Составим первое уравнение:$b_1 + b_1q + b_1q^2 = 91$Вынесем $b_1$ за скобки:$b_1(1 + q + q^2) = 91$ (1)

Далее, к этим трём членам прибавляют соответственно числа 25, 27 и 1. Получаются новые числа:$a_1 = b_1 + 25$$a_2 = b_2 + 27 = b_1q + 27$$a_3 = b_3 + 1 = b_1q^2 + 1$Эти три числа являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Для любой арифметической прогрессии справедливо свойство: каждый её член, начиная со второго, является средним арифметическим соседних с ним членов. То есть, $2a_2 = a_1 + a_3$. Составим второе уравнение:$2(b_1q + 27) = (b_1 + 25) + (b_1q^2 + 1)$$2b_1q + 54 = b_1 + b_1q^2 + 26$Перенесём члены с $b_1$ в одну сторону, а свободные члены в другую:$54 - 26 = b_1 + b_1q^2 - 2b_1q$$28 = b_1(1 - 2q + q^2)$$28 = b_1(q-1)^2$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:
1) $b_1(1 + q + q^2) = 91$
2) $b_1(q-1)^2 = 28$
Из обоих уравнений выразим $b_1$:
$b_1 = \frac{91}{1 + q + q^2}$
$b_1 = \frac{28}{(q-1)^2}$
Приравняем правые части:$\frac{91}{1 + q + q^2} = \frac{28}{(q-1)^2}$

Разделим обе части уравнения на 7 (так как $91 = 13 \cdot 7$ и $28 = 4 \cdot 7$):$\frac{13}{1 + q + q^2} = \frac{4}{(q-1)^2}$Воспользуемся свойством пропорции:$13(q-1)^2 = 4(1 + q + q^2)$$13(q^2 - 2q + 1) = 4 + 4q + 4q^2$$13q^2 - 26q + 13 = 4q^2 + 4q + 4$Перенесём все члены в левую часть и приведём подобные слагаемые:$9q^2 - 30q + 9 = 0$Разделим уравнение на 3:$3q^2 - 10q + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.Корни уравнения:$q_1 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$q_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

Рассмотрим оба возможных случая.
Случай 1: $q = 3$.Найдём $b_1$ из уравнения (2):$b_1 = \frac{28}{(3-1)^2} = \frac{28}{2^2} = \frac{28}{4} = 7$.Теперь найдём седьмой член этой геометрической прогрессии $b_7 = b_1q^6$:$b_7 = 7 \cdot 3^6 = 7 \cdot 729 = 5103$.По условию, седьмой член должен быть меньше 1000. В данном случае $5103 > 1000$, следовательно, это решение не подходит.

Случай 2: $q = \frac{1}{3}$.Найдём $b_1$ из уравнения (2):$b_1 = \frac{28}{(\frac{1}{3}-1)^2} = \frac{28}{(-\frac{2}{3})^2} = \frac{28}{\frac{4}{9}} = 28 \cdot \frac{9}{4} = 7 \cdot 9 = 63$.Теперь найдём седьмой член этой геометрической прогрессии $b_7 = b_1q^6$:$b_7 = 63 \cdot (\frac{1}{3})^6 = 63 \cdot \frac{1}{729} = \frac{63}{729}$.Сократим дробь. Так как $63 = 7 \cdot 9$ и $729 = 81 \cdot 9$:$b_7 = \frac{7 \cdot 9}{81 \cdot 9} = \frac{7}{81}$.Проверим условие: $b_7 < 1000$.$\frac{7}{81} < 1$, что, очевидно, меньше 1000. Следовательно, это решение подходит.

Ответ: $\frac{7}{81}$

17.56 Три числа, сумма которых равна 31, можно рассматривать как три последовательных члена некоторой геометрической прогрессии или как первый, второй, седьмой члены некоторой арифметической прогрессии. Найдите эти числа.

Пусть искомые три числа это $x$, $y$ и $z$.

Согласно первому условию, их сумма равна 31:$x + y + z = 31$

Согласно второму условию, эти три числа являются тремя последовательными членами некоторой геометрической прогрессии. Обозначим первый из этих членов за $b$, а знаменатель прогрессии за $q$. Тогда числа можно записать как:$x = b$$y = bq$$z = bq^2$

Согласно третьему условию, эти же числа являются первым, вторым и седьмым членами некоторой арифметической прогрессии. Обозначим первый член этой прогрессии за $a_1$, а ее разность за $d$. Тогда:$x = a_1$$y = a_2 = a_1 + d$$z = a_7 = a_1 + 6d$

Теперь составим систему уравнений, связав представления чисел через обе прогрессии.Поскольку $x = b$ и $x = a_1$, то $b = a_1$. Подставим это в выражения для $y$ и $z$ из арифметической прогрессии:$y = b + d$$z = b + 6d$

Приравняем выражения для $y$ и $z$ из обеих систем представлений (геометрической и арифметической):1) $bq = b + d$2) $bq^2 = b + 6d$

Из первого уравнения выразим $d$:$d = bq - b = b(q-1)$

Подставим это выражение для $d$ во второе уравнение:$bq^2 = b + 6b(q-1)$

Сумма чисел равна 31, поэтому они не могут быть все нулями, а значит $b \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $b$:$q^2 = 1 + 6(q-1)$$q^2 = 1 + 6q - 6$$q^2 - 6q + 5 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно знаменателя геометрической прогрессии $q$. Решим его, например, с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Отсюда находим корни:$q_1 = 1$, $q_2 = 5$

Рассмотрим оба возможных случая для $q$.

Случай 1: $q = 5$

Подставим значение $q=5$ в уравнение для суммы членов геометрической прогрессии:$x + y + z = b + bq + bq^2 = 31$$b(1 + q + q^2) = 31$$b(1 + 5 + 5^2) = 31$$b(1 + 5 + 25) = 31$$b(31) = 31$$b = 1$

Теперь найдем сами числа $x, y, z$:$x = b = 1$$y = bq = 1 \cdot 5 = 5$$z = bq^2 = 1 \cdot 5^2 = 25$

Таким образом, мы получили числа 1, 5, 25. Проверим, удовлетворяют ли они всем условиям задачи.

1. Сумма чисел: $1 + 5 + 25 = 31$. Условие выполнено.

2. Числа являются последовательными членами геометрической прогрессии: 1, 5, 25. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q=5$. Условие выполнено.

3. Числа являются первым, вторым и седьмым членами арифметической прогрессии. Пусть $a_1 = 1$, $a_2 = 5$. Тогда разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 5 - 1 = 4$. Седьмой член $a_7$ должен быть равен $a_1 + 6d = 1 + 6 \cdot 4 = 1 + 24 = 25$. Это совпадает со значением третьего числа. Условие выполнено.

Следовательно, набор чисел (1, 5, 25) является решением.

Случай 2: $q = 1$

Подставим значение $q=1$ в уравнение для суммы:$b(1 + q + q^2) = 31$$b(1 + 1 + 1^2) = 31$$b(3) = 31$$b = \frac{31}{3}$

Теперь найдем сами числа $x, y, z$:$x = b = \frac{31}{3}$$y = bq = \frac{31}{3} \cdot 1 = \frac{31}{3}$$z = bq^2 = \frac{31}{3} \cdot 1^2 = \frac{31}{3}$

Таким образом, мы получили три одинаковых числа: $\frac{31}{3}, \frac{31}{3}, \frac{31}{3}$. Проверим условия.

1. Сумма чисел: $\frac{31}{3} + \frac{31}{3} + \frac{31}{3} = 3 \cdot \frac{31}{3} = 31$. Условие выполнено.

2. Числа являются последовательными членами геометрической прогрессии: $\frac{31}{3}, \frac{31}{3}, \frac{31}{3}$. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q=1$. Условие выполнено.

3. Числа являются первым, вторым и седьмым членами арифметической прогрессии. Пусть $a_1 = \frac{31}{3}$, $a_2 = \frac{31}{3}$. Тогда разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = \frac{31}{3} - \frac{31}{3} = 0$. Седьмой член $a_7$ должен быть равен $a_1 + 6d = \frac{31}{3} + 6 \cdot 0 = \frac{31}{3}$. Это совпадает со значением третьего числа. Условие выполнено.

Следовательно, набор чисел ($\frac{31}{3}, \frac{31}{3}, \frac{31}{3}$) также является решением.

Ответ: 1, 5, 25 и $\frac{31}{3}, \frac{31}{3}, \frac{31}{3}$.

17.57 На биржевых торгах в понедельник вечером цена акции банка «Городской» повысилась на некоторое количество процентов, а во вторник произошло снижение стоимости акции на то же число процентов. В результате во вторник вечером цена акции составила 99 % от её первоначальной цены в понедельник утром. На сколько процентов менялась котировка акции в понедельник и во вторник?

Пусть $P$ — первоначальная цена акции в понедельник утром, а $x$ — искомое количество процентов, на которое менялась цена.

В понедельник вечером цена акции повысилась на $x$ процентов. Новая цена акции стала равна:
$P_{пн} = P \cdot (1 + \frac{x}{100})$

Во вторник цена акции снизилась на $x$ процентов от цены понедельника вечера ($P_{пн}$). Цена во вторник вечером стала:
$P_{вт} = P_{пн} \cdot (1 - \frac{x}{100})$

Подставим выражение для $P_{пн}$ в формулу для $P_{вт}$:
$P_{вт} = \left( P \cdot (1 + \frac{x}{100}) \right) \cdot (1 - \frac{x}{100}) = P \cdot (1 + \frac{x}{100})(1 - \frac{x}{100})$

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$P_{вт} = P \cdot (1^2 - (\frac{x}{100})^2) = P \cdot (1 - \frac{x^2}{10000})$

По условию, итоговая цена во вторник вечером составила 99% от первоначальной цены. Это можно записать как:
$P_{вт} = 0.99 \cdot P$

Теперь приравняем два полученных выражения для $P_{вт}$:
$P \cdot (1 - \frac{x^2}{10000}) = 0.99 \cdot P$

Разделим обе части уравнения на $P$ (так как цена акции не может быть нулевой):
$1 - \frac{x^2}{10000} = 0.99$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:
$\frac{x^2}{10000} = 1 - 0.99$
$\frac{x^2}{10000} = 0.01$
$x^2 = 0.01 \cdot 10000$
$x^2 = 100$
$x = \sqrt{100}$
$x = 10$

Таким образом, цена акции в понедельник повысилась на 10%, а во вторник снизилась на 10%.

Ответ: на 10%.