Страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

17.17 Является ли число $B$ членом геометрической прогрессии ($b_n$)? Если да, то укажите его номер:

а) $b_n = \frac{1}{6} \cdot 0,1^{2n+1}$, $B = \frac{1}{600}$;

б) $b_n = 0,002 \cdot (\sqrt{5})^{n-4}$, $B = 0,25$;

в) $b_n = \frac{7}{9} \cdot 3^{n-8}$, $B = 63$;

г) $b_n = \frac{6}{7} \cdot 0,5^{3n+5}$, $B = \frac{3}{14}$.

а) Чтобы определить, является ли число $B = \frac{1}{600}$ членом геометрической прогрессии $b_n = \frac{1}{6} \cdot 0,1^{2n+1}$, необходимо приравнять $b_n$ к $B$ и решить полученное уравнение относительно $n$. Номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом.

Приравняем $b_n$ к $B$:

$ \frac{1}{6} \cdot 0,1^{2n+1} = \frac{1}{600} $

Умножим обе части уравнения на 6:

$ 0,1^{2n+1} = \frac{6}{600} $

$ 0,1^{2n+1} = \frac{1}{100} $

Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 10. Так как $0,1 = 10^{-1}$ и $\frac{1}{100} = 10^{-2}$, получаем:

$ (10^{-1})^{2n+1} = 10^{-2} $

$ 10^{-(2n+1)} = 10^{-2} $

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$ -(2n+1) = -2 $

$ 2n+1 = 2 $

$ 2n = 1 $

$ n = \frac{1}{2} $

Поскольку $n = \frac{1}{2}$ не является натуральным числом, число $B$ не является членом данной геометрической прогрессии.

Ответ: нет.

б) Проверим, является ли число $B = 0,25$ членом геометрической прогрессии $b_n = 0,002 \cdot (\sqrt{5})^{n-4}$.

Приравняем $b_n$ к $B$:

$ 0,002 \cdot (\sqrt{5})^{n-4} = 0,25 $

Переведем десятичные дроби в обыкновенные для удобства вычислений: $0,002 = \frac{2}{1000} = \frac{1}{500}$ и $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

$ \frac{1}{500} \cdot (\sqrt{5})^{n-4} = \frac{1}{4} $

Умножим обе части уравнения на 500:

$ (\sqrt{5})^{n-4} = \frac{500}{4} $

$ (\sqrt{5})^{n-4} = 125 $

Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 5. Так как $\sqrt{5} = 5^{1/2}$ и $125 = 5^3$, получаем:

$ (5^{1/2})^{n-4} = 5^3 $

$ 5^{\frac{n-4}{2}} = 5^3 $

Приравниваем показатели степеней:

$ \frac{n-4}{2} = 3 $

$ n-4 = 6 $

$ n = 10 $

Поскольку $n = 10$ является натуральным числом, число $B$ является десятым членом данной геометрической прогрессии.

Ответ: да, его номер 10.

в) Проверим, является ли число $B = 63$ членом геометрической прогрессии $b_n = \frac{7}{9} \cdot 3^{n-8}$.

Приравняем $b_n$ к $B$:

$ \frac{7}{9} \cdot 3^{n-8} = 63 $

Разделим обе части уравнения на 7:

$ \frac{1}{9} \cdot 3^{n-8} = 9 $

Умножим обе части на 9:

$ 3^{n-8} = 81 $

Представим 81 в виде степени с основанием 3: $81 = 3^4$.

$ 3^{n-8} = 3^4 $

Приравниваем показатели степеней:

$ n-8 = 4 $

$ n = 12 $

Поскольку $n = 12$ является натуральным числом, число $B$ является двенадцатым членом данной геометрической прогрессии.

Ответ: да, его номер 12.

г) Проверим, является ли число $B = \frac{3}{14}$ членом геометрической прогрессии $b_n = \frac{6}{7} \cdot 0,5^{3n+5}$.

Приравняем $b_n$ к $B$:

$ \frac{6}{7} \cdot 0,5^{3n+5} = \frac{3}{14} $

Умножим обе части уравнения на $\frac{7}{6}$:

$ 0,5^{3n+5} = \frac{3}{14} \cdot \frac{7}{6} $

$ 0,5^{3n+5} = \frac{21}{84} $

$ 0,5^{3n+5} = \frac{1}{4} $

Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 2. Так как $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $\frac{1}{4} = 2^{-2}$, получаем:

$ (2^{-1})^{3n+5} = 2^{-2} $

$ 2^{-(3n+5)} = 2^{-2} $

Приравниваем показатели степеней:

$ -(3n+5) = -2 $

$ 3n+5 = 2 $

$ 3n = -3 $

$ n = -1 $

Поскольку $n = -1$ не является натуральным числом, число $B$ не является членом данной геометрической прогрессии.

Ответ: нет.

17.18 Дана конечная геометрическая прогрессия ($b_n$). Найдите $b_n$, если из-вестно, что:

a) $b_1 = 1, q = 3, n = 10;$

б) $b_1 = \frac{1}{2}, q = -\frac{1}{3}, n = 6;$

в) $b_1 = 8, q = \frac{1}{2}, n = 5;$

г) $b_1 = 2,5, q = 1,5, n = 5.$

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — номер искомого члена.

а)

Даны значения: $b_1 = 1$, $q = 3$, $n = 10$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения $b_{10}$:

$b_{10} = b_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot 3^{10-1} = 1 \cdot 3^9$

Вычислим значение $3^9$:

$3^9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 19683$

Следовательно, $b_{10} = 19683$.

Ответ: $19683$.

б)

Даны значения: $b_1 = \frac{1}{2}$, $q = -\frac{1}{3}$, $n = 6$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения $b_6$:

$b_6 = b_1 \cdot q^{n-1} = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{3})^{6-1} = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{3})^5$

Вычислим значение $(-\frac{1}{3})^5$:

$(-\frac{1}{3})^5 = -\frac{1^5}{3^5} = -\frac{1}{243}$

Теперь умножим результат на $b_1$:

$b_6 = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{243}) = -\frac{1}{2 \cdot 243} = -\frac{1}{486}$

Ответ: $-\frac{1}{486}$.

в)

Даны значения: $b_1 = 8$, $q = \frac{1}{2}$, $n = 5$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения $b_5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{n-1} = 8 \cdot (\frac{1}{2})^{5-1} = 8 \cdot (\frac{1}{2})^4$

Вычислим значение $(\frac{1}{2})^4$:

$(\frac{1}{2})^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$

Теперь умножим результат на $b_1$:

$b_5 = 8 \cdot \frac{1}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

г)

Даны значения: $b_1 = 2,5$, $q = 1,5$, $n = 5$.

Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $b_1 = 2,5 = \frac{5}{2}$ и $q = 1,5 = \frac{3}{2}$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения $b_5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{n-1} = \frac{5}{2} \cdot (\frac{3}{2})^{5-1} = \frac{5}{2} \cdot (\frac{3}{2})^4$

Вычислим значение $(\frac{3}{2})^4$:

$(\frac{3}{2})^4 = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16}$

Теперь умножим результат на $b_1$:

$b_5 = \frac{5}{2} \cdot \frac{81}{16} = \frac{5 \cdot 81}{2 \cdot 16} = \frac{405}{32}$

Результат можно также представить в виде десятичной дроби: $b_5 = 12,65625$.

Ответ: $\frac{405}{32}$ или $12,65625$.

Найдите знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если:

17.19 a) $b_1 = 7, b_4 = 448;$

б) $b_1 = -\sqrt{2}, b_8 = 16;$

в) $b_1 = 35, b_4 = \frac{5}{49};$

г) $b_1 = \frac{9}{5}, b_6 = -\frac{1}{135}.$

a) Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии $q$ используется формула $n$-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В данном задании известны первый член прогрессии $b_1 = 7$ и четвертый член $b_4 = 448$.
Подставим известные значения в формулу для $n=4$:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1}$
$448 = 7 \cdot q^3$
Чтобы найти $q$, сначала выразим $q^3$:
$q^3 = \frac{448}{7}$
$q^3 = 64$
Теперь извлечем кубический корень из 64:
$q = \sqrt[3]{64}$
$q = 4$
Ответ: 4

б) Аналогично предыдущему пункту, используем формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Даны $b_1 = -\sqrt{2}$ и $b_8 = 16$.
Подставим значения для $n=8$:
$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1}$
$16 = (-\sqrt{2}) \cdot q^7$
Выразим $q^7$:
$q^7 = \frac{16}{-\sqrt{2}}$
Для упрощения выражения представим число 16 как степень $\sqrt{2}$. Поскольку $16 = 2^4$ и $2 = (\sqrt{2})^2$, то $16 = ((\sqrt{2})^2)^4 = (\sqrt{2})^8$.
$q^7 = -\frac{(\sqrt{2})^8}{\sqrt{2}} = -(\sqrt{2})^{8-1} = -(\sqrt{2})^7$
Так как степень 7 является нечетной, то $-(\sqrt{2})^7 = (-\sqrt{2})^7$.
Получаем уравнение: $q^7 = (-\sqrt{2})^7$
Отсюда следует, что $q = -\sqrt{2}$.
Ответ: $-\sqrt{2}$

в) В этом случае даны $b_1 = 35$ и $b_4 = \frac{5}{49}$. Применяем формулу $n$-го члена для $n=4$:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1}$
$\frac{5}{49} = 35 \cdot q^3$
Выразим $q^3$:
$q^3 = \frac{5}{49 \cdot 35}$
Сократим дробь на 5:
$q^3 = \frac{1}{49 \cdot 7}$
Так как $49 = 7^2$, то знаменатель равен $49 \cdot 7 = 7^2 \cdot 7 = 7^3$.
$q^3 = \frac{1}{7^3} = (\frac{1}{7})^3$
Извлекаем кубический корень из обеих частей уравнения:
$q = \frac{1}{7}$
Ответ: $\frac{1}{7}$

г) Даны $b_1 = \frac{9}{5}$ и $b_6 = -\frac{1}{135}$. Используем формулу $n$-го члена для $n=6$:
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1}$
$-\frac{1}{135} = \frac{9}{5} \cdot q^5$
Выразим $q^5$:
$q^5 = -\frac{1}{135} \div \frac{9}{5} = -\frac{1}{135} \cdot \frac{5}{9}$
$q^5 = -\frac{5}{135 \cdot 9}$
Разложим число 135 на множители: $135 = 5 \cdot 27$.
$q^5 = -\frac{5}{5 \cdot 27 \cdot 9} = -\frac{1}{27 \cdot 9}$
Представим знаменатель в виде степени числа 3. Так как $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$, то $27 \cdot 9 = 3^3 \cdot 3^2 = 3^5$.
$q^5 = -\frac{1}{3^5} = (-\frac{1}{3})^5$
Так как степени равны, то и основания равны:
$q = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{3}$

17.20 a) $b_1 = 5, b_9 = 1280;$

б) $b_1 = 100, b_5 = \frac{4}{25};$

В) $b_1 = 2, b_7 = 1458;$

Г) $b_1 = 72, b_3 = 2.$

а)

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.
По условию задачи $b_1 = 5$ и $b_9 = 1280$. Подставим эти значения в формулу для n=9:
$b_9 = b_1 \cdot q^{9-1}$
$1280 = 5 \cdot q^8$
Теперь выразим $q^8$, разделив обе части уравнения на 5:
$q^8 = \frac{1280}{5}$
$q^8 = 256$
Поскольку $256 = 2^8$, получаем уравнение $q^8 = 2^8$. Так как показатель степени 8 является четным числом, существует два действительных решения для $q$.

Ответ: $q = 2$ или $q = -2$.

б)

Аналогично предыдущему пункту, используем формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
По условию дано: $b_1 = 100$ и $b_5 = \frac{4}{25}$. Подставим значения для n=5:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$
$\frac{4}{25} = 100 \cdot q^4$
Выразим $q^4$:
$q^4 = \frac{4}{25 \cdot 100} = \frac{4}{2500} = \frac{1}{625}$
Поскольку $625 = 5^4$, то $q^4 = \frac{1}{5^4} = (\frac{1}{5})^4$. Так как показатель степени 4 является четным, существует два действительных решения для $q$.

Ответ: $q = \frac{1}{5}$ или $q = -\frac{1}{5}$.

в)

Снова используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Дано: $b_1 = 2$ и $b_7 = 1458$. Подставим значения для n=7:
$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1}$
$1458 = 2 \cdot q^6$
Выразим $q^6$, разделив обе части на 2:
$q^6 = \frac{1458}{2}$
$q^6 = 729$
Поскольку $729 = 3^6$, получаем $q^6 = 3^6$. Так как показатель степени 6 является четным, существует два действительных решения для $q$.

Ответ: $q = 3$ или $q = -3$.

г)

Используем ту же формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Дано: $b_1 = 72$ и $b_3 = 2$. Подставим значения для n=3:
$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1}$
$2 = 72 \cdot q^2$
Выразим $q^2$:
$q^2 = \frac{2}{72} = \frac{1}{36}$
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных значения для $q$.

Ответ: $q = \frac{1}{6}$ или $q = -\frac{1}{6}$.

17.21 Дана конечная геометрическая прогрессия ($b_n$). Найдите $n$, если:

а) $b_1 = \frac{1}{3}, q = \frac{1}{3}, b_n = \frac{1}{729};$

б) $b_1 = 256, q = \frac{1}{2}, b_n = 2;$

в) $b_1 = 2,5, q = \frac{1}{5}, b_n = 4 \cdot 10^{-3};$

г) $b_1 = \frac{1}{343}, q = -7, b_n = -2401.$

Для решения всех пунктов задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — номер члена прогрессии. Нам нужно найти $n$.

а)

Дано: $b_1 = \frac{1}{3}$, $q = \frac{1}{3}$, $b_n = \frac{1}{729}$.
Подставим эти значения в формулу: $ \frac{1}{729} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} $
Можно заметить, что $b_n = b_1 \cdot q \cdot q^{n-2} = b_1 \cdot q^{n-1}$. В данном случае $b_1 = q$, поэтому формулу можно записать как $b_n = q \cdot q^{n-1} = q^n$. $ \frac{1}{729} = (\frac{1}{3})^n $
Теперь нам нужно найти, в какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 729. $3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27, 3^4 = 81, 3^5 = 243, 3^6 = 729$.
Таким образом, $ \frac{1}{729} = \frac{1}{3^6} = (\frac{1}{3})^6 $.
Получаем уравнение: $ (\frac{1}{3})^6 = (\frac{1}{3})^n $
Отсюда следует, что $n=6$.

Ответ: $6$.

б)

Дано: $b_1 = 256$, $q = \frac{1}{2}$, $b_n = 2$.
Подставим значения в формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$: $ 2 = 256 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} $
Разделим обе части уравнения на 256: $ \frac{2}{256} = (\frac{1}{2})^{n-1} $
$ \frac{1}{128} = (\frac{1}{2})^{n-1} $
Нам известно, что $128 = 2^7$, поэтому $ \frac{1}{128} = (\frac{1}{2})^7 $.
Получаем уравнение: $ (\frac{1}{2})^7 = (\frac{1}{2})^{n-1} $
Приравниваем показатели степеней: $ 7 = n - 1 $
$ n = 7 + 1 = 8 $.

Ответ: $8$.

в)

Дано: $b_1 = 2,5$, $q = \frac{1}{5}$, $b_n = 4 \cdot 10^{-3}$.
Преобразуем $b_1$ и $b_n$ для удобства вычислений: $ b_1 = 2,5 = \frac{5}{2} $
$ b_n = 4 \cdot 10^{-3} = 4 \cdot \frac{1}{1000} = \frac{4}{1000} = \frac{1}{250} $
Подставляем в формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$: $ \frac{1}{250} = \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{5})^{n-1} $
Выразим $(\frac{1}{5})^{n-1}$: $ (\frac{1}{5})^{n-1} = \frac{1}{250} \div \frac{5}{2} = \frac{1}{250} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{1250} = \frac{1}{625} $
Теперь представим $\frac{1}{625}$ как степень $\frac{1}{5}$. Мы знаем, что $625 = 5^4$.
Значит, $ \frac{1}{625} = (\frac{1}{5})^4 $.
Получаем уравнение: $ (\frac{1}{5})^4 = (\frac{1}{5})^{n-1} $
Приравниваем показатели степеней: $ 4 = n - 1 $
$ n = 4 + 1 = 5 $.

Ответ: $5$.

г)

Дано: $b_1 = \frac{1}{343}$, $q = -7$, $b_n = -2401$.
Подставляем в формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$: $ -2401 = \frac{1}{343} \cdot (-7)^{n-1} $
Умножим обе части уравнения на 343: $ -2401 \cdot 343 = (-7)^{n-1} $
Представим числа 343 и 2401 как степени числа 7. $7^3 = 343$
$7^4 = 2401$
Подставим эти значения в уравнение: $ -(7^4) \cdot 7^3 = (-7)^{n-1} $
$ -7^{4+3} = (-7)^{n-1} $
$ -7^7 = (-7)^{n-1} $
Поскольку $-a^k = (-a)^k$ для любого нечетного $k$, мы можем переписать левую часть как $(-7)^7$. $ (-7)^7 = (-7)^{n-1} $
Приравниваем показатели степеней: $ 7 = n - 1 $
$ n = 7 + 1 = 8 $.

Ответ: $8$.